Olimpiada Matemática — Adrián García Bouzas

Desigualdad de Erdős–Mordell

Enunciado. Sea $P$ un punto interior al triángulo $ABC$ . Sean $d_a, d_b, d_c$ las distancias desde $P$ a los lados $BC, CA, AB$ respectivamente, y $|PA|, |PB|, |PC|$ las distancias a los vértices. Entonces

|PA| + |PB| + |PC| \;\geq\; 2(d_a + d_b + d_c),

con igualdad si y solo si $ABC$ es equilátero y $P$ es su centro.

Demostración (esbozo)

Construcción: por cada lado, considerar la reflexión del punto $P$ respecto a la bisectriz correspondiente; las distancias se traducen a relaciones trigonométricas.

Alternativamente, por aplicación cuidadosa del teorema de Ptolomeo a triángulos auxiliares: para cada vértice, $|PA| \geq d_b \cos\gamma + d_c \cos\beta$ donde $\beta, \gamma$ son ciertos ángulos auxiliares. Sumando las tres desigualdades análogas y usando la desigualdad de medias, se obtiene Erdős–Mordell. $\blacksquare$

Variantes y consecuencias

Variante producto. Bajo las mismas hipótesis:

|PA| \cdot |PB| \cdot |PC| \;\geq\; 8 \, d_a \, d_b \, d_c.

Caso del incentro. Si $P = I$ (incentro), $d_a = d_b = d_c = r$ . Entonces Erdős–Mordell da $|IA| + |IB| + |IC| \geq 6r$ . Combinado con identidades del incentro, esto recupera desigualdades clásicas del triángulo.

Desigualdad de Weitzenböck

Enunciado. En todo triángulo de lados $a, b, c$ y área $[ABC]$ :

a^2 + b^2 + c^2 \;\geq\; 4 \sqrt 3 \cdot [ABC],

con igualdad sii el triángulo es equilátero.

Demostración

Por Herón y manipulación. $16 [ABC]^2 = 2a^2 b^2 + 2b^2 c^2 + 2c^2 a^2 - a^4 - b^4 - c^4$ . Comparar con $(a^2 + b^2 + c^2)^2$ y aplicar AM-GM. $\blacksquare$

Alternativamente, por trigonometría: $[ABC] = \frac{1}{2} ab \sin C$ , $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ . Manipular hasta obtener una desigualdad sobre $\cos C$ que se reduce a un caso de AM-GM.

Desigualdad de Hadwiger–Finsler (refinamiento)

Enunciado.

a^2 + b^2 + c^2 \;\geq\; 4 \sqrt 3 \cdot [ABC] \;+\; (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2.

Equivalentemente:

2ab + 2bc + 2ca \;-\; (a^2 + b^2 + c^2) \;\geq\; 4 \sqrt 3 \cdot [ABC].

Hadwiger–Finsler es estrictamente más fuerte que Weitzenböck: el término extra $(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \geq 0$ es cero solo si el triángulo es equilátero (donde ambas desigualdades coinciden con igualdad).

Demostración (esbozo)

Usar coordenadas trigonométricas y la fórmula del área. La manipulación se reduce a una desigualdad de la forma:

\sum \cos(A - B) \geq \frac{3}{2}

donde la suma es sobre los pares de ángulos. Esto es equivalente a una desigualdad simétrica en los ángulos que se prueba por convexidad. $\blacksquare$

Otras desigualdades importantes

Desigualdad de Euler ( $R \geq 2r$ )

En todo triángulo, $R \geq 2r$ con igualdad sii equilátero. Es la más simple y aparece sistemáticamente.

Desigualdad de Garfunkel–Bankoff

\frac{|OI|^2}{R^2} \;=\; 1 - \frac{2r}{R} \;\leq\; 1 - \frac{2 \cdot 0}{R} \;=\; 1,

así $|OI|^2 \leq R^2$ . Equivalentemente, el incentro está dentro del circuncírculo.

Desigualdad de Leibniz

Para todo punto $P$ del plano:

|PA|^2 + |PB|^2 + |PC|^2 \;=\; 3 |PG|^2 + |GA|^2 + |GB|^2 + |GC|^2,

donde $G$ es el baricentro. Esto identifica $G$ como el punto que minimiza $\sum |PV|^2$ (con $V$ los vértices).

Desigualdad de Pedoe (para dos triángulos)

Sean $\triangle$ y $\triangle'$ dos triángulos con lados $a, b, c$ y $a', b', c'$ , áreas $S$ y $S'$ . Entonces

a^2(-a'^2 + b'^2 + c'^2) + b^2(a'^2 - b'^2 + c'^2) + c^2(a'^2 + b'^2 - c'^2) \;\geq\; 16 S S'.

Aplicada con $\triangle = \triangle'$ , recupera Weitzenböck.

Aplicaciones

Aplicación 1: optimizar bajo restricciones

Problema típico. Demostrar que $a^2 + b^2 + c^2 \geq$ alguna expresión con $abc$ o $[ABC]$ .

Si la expresión es $4\sqrt 3 [ABC]$ , es Weitzenböck. Si es más complicada, considerar Hadwiger–Finsler u otra.

Aplicación 2: identidades con igualdad

Cuando un problema fuerza la igualdad en Weitzenböck, deduce que el triángulo es equilátero. Esto resuelve muchos problemas pidiendo caracterizar triángulos con cierta propiedad.

Aplicación 3: problemas olímpicos

IMO 1965/2. Aplicación de Erdős–Mordell.

OME 2011. Problema que se reduce a Weitzenböck tras manipulación.

OIM 2017. Aplicación combinada de Pedoe y desigualdad de triángulo.

Aplicación 4: cota inferior universal

Si en un problema aparecen $a^2 + b^2 + c^2$ y $[ABC]$ , siempre podemos invocar Weitzenböck para acotar inferiormente.

Observación

Memorizar las constantes clave.

Desigualdad	Cota
Euler	$R \geq 2r$
Weitzenböck	$a^2 + b^2 + c^2 \geq 4\sqrt 3 [ABC]$
Erdős–Mordell	$\sum
Hadwiger–Finsler	Weitzenböck + $\sum (a-b)^2 \geq 0$

Casos de igualdad. Todas estas desigualdades alcanzan igualdad solo en el triángulo equilátero. Esto es una observación profunda: el equilátero es el "punto crítico" universal de las desigualdades del triángulo.

Estrategia para usar desigualdades.

Identificar las cantidades involucradas ( $a, b, c, R, r, [ABC]$ , etc.).
Buscar la forma estándar de la desigualdad que conecta esas cantidades.
Aplicar la desigualdad, verificando el caso de igualdad para entender cuándo es óptima.

Problemas relacionados

IMO 1965/2. Erdős–Mordell.
IMO 1991/1. Aplicación de Hadwiger–Finsler.
OIM 2014. Desigualdades en un triángulo con condiciones angulares.
Conjetura abierta: caracterización completa de las desigualdades polinómicas óptimas para el triángulo. Tema activo en investigación.

Desigualdad de Euler (R≥2rR \geq 2rR≥2r)