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Teoría, teoremas y definiciones en el área de teoría de números.
Bases numéricas
Todo entero positivo admite una única representación en cualquier base . El lenguaje de los dígitos desbloquea la fórmula de Legendre, el teorema de Kummer y el teorema de Lucas: tres herramientas centrales en divisibilidad olímpica.
Divisibilidad: fundamentos de la aritmética entera
El lenguaje básico de la teoría de números: divisores, múltiplos, MCD, MCM y el Teorema Fundamental de la Aritmética. Todo el edificio de la teoría de números descansa sobre estas definiciones.
Paridad: el invariante más simple y más poderoso
El argumento de paridad consiste en observar que cierta cantidad es par o impar, y que las operaciones permitidas no cambian esa condición. Detrás de su aparente trivialidad se esconde uno de los métodos más versátiles de la olimpiada.
Algoritmo de Euclides e identidad de Bézout
El algoritmo más antiguo de las matemáticas calcula el MCD en tiempo logarítmico. Su versión extendida produce la identidad de Bézout: , que abre las puertas a las ecuaciones diofánticas lineales y a la aritmética modular.
Congruencias y aritmética modular
El lenguaje en el que se expresa casi toda la teoría elemental de números. Trabajar módulo convierte problemas sobre infinitos enteros en problemas sobre conjuntos finitos, y desbloquea potentes herramientas algebraicas.
Funciones multiplicativas y convolución de Dirichlet
Una función aritmética es multiplicativa si cuando . La estructura clave: sus valores se determinan por su comportamiento en potencias de primos. La convolución de Dirichlet convierte identidades aritméticas en ecuaciones algebraicas.
Números perfectos y primos de Mersenne
Un entero es perfecto si es igual a la suma de sus divisores propios. Los perfectos pares están en biyección exacta con los primos de Mersenne . Una de las conexiones más sorprendentes de la aritmética elemental, con una pregunta abierta de 2300 años.
Pequeño Teorema de Fermat
Si es primo y , entonces . La piedra angular de la aritmética modular olímpica: reduce potencias de cualquier tamaño a un residuo en .
Polinomios: identidades, raíces y funciones simétricas
Fórmulas de Vieta, identidades de Newton, divisibilidad polinómica, criterio de Eisenstein. La caja de herramientas algebraica que conecta los coeficientes de un polinomio con sus raíces y aparece en toda olimpiada de nivel medio.
Sucesiones recurrentes lineales: Fibonacci, Lucas y más
Una sucesión recurrente lineal de orden satisface . Su comportamiento modular es periódico, su forma cerrada explícita vía raíces del polinomio característico, y aparece en divisibilidad, combinatoria y geometría.
Teorema Chino del Resto
Cuando los módulos son coprimos dos a dos, todo sistema de congruencias lineales tiene una única solución módulo el producto. El isomorfismo es la estructura algebraica subyacente.
Teorema de Lucas para coeficientes binomiales módulo
Para un primo y enteros con expansiones , en base , se cumple . Una factorización en base de los binomiales mod p.
Valuación -ádica
Para un primo y un entero , la valuación es el exponente exacto de en la factorización de . Se comporta como un logaritmo discreto: convierte multiplicación en suma y divisibilidad en desigualdad.
Fracciones continuas y aproximación diofántica
Todo número real admite una única expansión en fracción continua. Los convergentes son las mejores aproximaciones racionales posibles. Para irracionales cuadráticos la expansión es periódica, y esto da la solución de la ecuación de Pell.
Función de Euler y teorema de Euler
La generalización natural del Pequeño Teorema de Fermat: si , entonces . La función cuenta los enteros coprimos con y es multiplicativa.
Lema del Levantamiento del Exponente (LTE)
Una herramienta poderosa para calcular la valuación p-ádica de expresiones del tipo , esencial para problemas olímpicos sobre divisibilidad.
Orden multiplicativo
El orden de módulo es el menor con . Controla la periodicidad de las potencias de y es la herramienta más fina entre el Pequeño Teorema de Fermat y las raíces primitivas.
Polinomios ciclotómicos
Para cada , tiene como raíces exactamente las raíces primitivas -ésimas de la unidad. Irreducible sobre , con coeficientes enteros, y con propiedades aritméticas que conectan la factorización de con la distribución de primos.
Raíces primitivas y estructura de
Para todo primo , el grupo multiplicativo es **cíclico** de orden . Un generador se llama raíz primitiva. Esto es la estructura algebraica subyacente a toda la aritmética modular.
Reciprocidad cuadrática y símbolo de Legendre
El 'theorema aureum' de Gauss: determinar si es cuadrado módulo se reduce a saber si es cuadrado módulo , con un signo que depende solo de las congruencias de y módulo .
Teorema de Wilson
caracteriza primalidad. Una identidad bellísima que esconde más profundidad de la que aparenta.
Teorema de Zsigmondy y divisores primitivos
Para casi todos los , el número tiene un divisor primo que no divide a ningún con . Este 'primo primitivo' tiene propiedades forzadas que lo hacen una herramienta demoledora en problemas de divisibilidad con potencias.