Teorema de Wilson

$(\Rightarrow)$ Si $p$ es primo. Trabajamos en el cuerpo $\mathbb Z/p\mathbb Z$. Cada elemento $a \in \{1, 2, \ldots, p-1\}$ tiene un único inverso multiplicativo $a^{-1} \in \{1, \ldots, p-1\}$.

Los elementos que son autoinversos ($a = a^{-1}$, es decir $a^2 = 1$) son las raíces de $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ en el cuerpo: exactamente $a = 1$ y $a = p - 1 \equiv -1$.

Para $a \in \{2, 3, \ldots, p-2\}$, su inverso es distinto de $a$. Agrupando cada $a$ con su inverso obtenemos pares $(a, a^{-1})$ cuyo producto es $1$. Quedan sin emparejar solo $1$ y $p-1$. Por tanto $(p-1)! = 1 \cdot (p-1) \cdot \prod_{\text{pares}} 1 \equiv 1 \cdot (-1) = -1 \pmod p.$

$(\Leftarrow)$ Si $p$ es compuesto. Sea $p = ab$ con $1 < a \leq b < p$. Si $a \neq b$, ambos aparecen en el producto $(p-1)!$, luego $p = ab \mid (p-1)!$, es decir $(p-1)! \equiv 0 \pmod p$. Si $a = b$ (caso $p = a^2$): para $p \geq 8$, $2a < p$ y $a < p$ aparecen en $(p-1)!$, dando $2a^2 = 2p \mid (p-1)!$, en particular $p \mid (p-1)!$. Casos pequeños: $p=4$ da $3! = 6 \equiv 2 \neq -1 \pmod 4$, también compuesto correctamente.

En cualquier caso $(p-1)! \not\equiv -1 \pmod p$. ∎