Valuación $p$-ádica

Aplicaciones directas

Ejemplo 1. Calcular $v_2(100!)$.

Por la fórmula de Legendre: $v_2(100!) = \lfloor 100/2 \rfloor + \lfloor 100/4 \rfloor + \lfloor 100/8 \rfloor + \lfloor 100/16 \rfloor + \lfloor 100/32 \rfloor + \lfloor 100/64 \rfloor = 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 97$.

$100!$ termina en $v_5(100!) = \lfloor 100/5 \rfloor + \lfloor 100/25 \rfloor = 20 + 4 = 24$ ceros (el factor limitante es $5$, pues $v_2 > v_5$).

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Ejemplo 2. Demostrar que $v_2\binom{2n}{n} = s_2(n)$ donde $s_2(n)$ es el número de unos en la escritura binaria de $n$.

Por Kummer, $v_p\binom{m+k}{m}$ es el número de acarreos al sumar $m$ y $k$ en base $p$. Con $p = 2$ y $m = k = n$: sumar $n + n$ en binario produce un acarreo en cada posición donde $n$ tiene un $1$. Así $v_2\binom{2n}{n} = s_2(n)$, el número de unos de $n$. $\square$

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Ejemplo 3. Probar que $v_p\binom{n}{k} \geq 0$, es decir, $\binom{n}{k}$ siempre es entero.

$v_p\binom{n}{k} = v_p(n!) - v_p(k!) - v_p((n-k)!)$. Por Legendre, esta diferencia es $(s_p(k) + s_p(n-k) - s_p(n))/(p-1) \geq 0$ porque la suma de dígitos no decrece al sumar (los acarreos no pueden aumentar la suma de dígitos). $\square$

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Ejemplo 4. Demostrar que $\sqrt{2}$ es irracional usando valuaciones.

Supongamos $\sqrt{2} = a/b$ con $a, b \in \mathbb Z_{>0}$. Entonces $a^2 = 2b^2$. Aplicando $v_2$:

$v_2(a^2) = 2v_2(a), \qquad v_2(2b^2) = 1 + 2v_2(b).$

La igualdad $2v_2(a) = 1 + 2v_2(b)$ es imposible: el lado izquierdo es par, el derecho es impar. $\blacksquare$

El mismo argumento prueba que $\sqrt{p}$ es irracional para todo primo $p$, y más generalmente, que $\sqrt[k]{m}$ es irracional cuando $v_p(m)$ no es múltiplo de $k$ para algún primo $p$.

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Ejemplo 5. Hallar $v_3\!\left(\binom{300}{100}\right)$.

Por Kummer: $v_3\binom{300}{100}$ es el número de acarreos al sumar $100 + 200 = 300$ en base $3$.

$100 = (10201)_3$ (pues $1 \cdot 81 + 0 \cdot 27 + 2 \cdot 9 + 0 \cdot 3 + 1 = 100$). $200 = (21102)_3$ (pues $2 \cdot 81 + 1 \cdot 27 + 1 \cdot 9 + 0 \cdot 3 + 2 = 200$). $300 = (102100)_3$ (pues $1 \cdot 243 + 0 \cdot 81 + 2 \cdot 27 + 1 \cdot 9 + 0 \cdot 3 + 0 = 300$).

Hacemos la suma en base $3$:

  1 0 2 0 1
+ 2 1 1 0 2
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Posición 0: $1 + 2 = 3$, acarreo $1$, dígito $0$. Posición 1: $0 + 0 + 1 = 1$, sin acarreo, dígito $1$. Posición 2: $2 + 1 = 3$, acarreo $1$, dígito $0$. Posición 3: $0 + 1 + 1 = 2$, sin acarreo, dígito $2$. Posición 4: $1 + 2 = 3$, acarreo $1$, dígito $0$. Posición 5: $0 + 0 + 1 = 1$, sin acarreo.

Resultado: $(102100)_3 = 300$ ✓. Hubo $3$ acarreos.

$v_3\binom{300}{100} = 3$.

Verificación con Legendre: $v_3(300!) - v_3(100!) - v_3(200!)$. $v_3(300!) = (300 - s_3(300))/2 = (300 - 3)/2 = 297/2$... espera. $s_3(300) = 1+0+2+1+0+0 = 4$, así $(300 - 4)/2 = 148$. $s_3(100) = 1+0+2+0+1 = 4$, $(100-4)/2 = 48$. $s_3(200) = 2+1+1+0+2 = 6$, $(200-6)/2 = 97$. $v_3\binom{300}{100} = 148 - 48 - 97 = 3$. ✓

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Ejemplo 6. (Irracionalidad de $\log_2 3$) Demostrar que no existen enteros $m, n > 0$ con $2^m = 3^n$.

Aplicando $v_2$: $m = v_2(2^m) = v_2(3^n) = n \cdot v_2(3) = 0$. Luego $m = 0$, contradicción con $m > 0$.

Equivalentemente: $2^m = 3^n$ implica $v_3(2^m) = v_3(3^n)$, es decir $0 = n$, imposible. $\square$

En consecuencia $\log_2 3 = m/n$ es imposible, así $\log_2 3$ es irracional.

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Ejemplo 7. Demostrar que si $p$ es primo y $\alpha \in \mathbb Q$ satisface $\alpha^2 + \alpha + 1 = 0$, entonces tal $\alpha$ no existe.

$(2\alpha + 1)^2 = -3$. Si $\alpha \in \mathbb Q$, entonces $\beta = 2\alpha + 1 \in \mathbb Q$ y $\beta^2 = -3$. Pero $\beta^2 \geq 0$ para $\beta \in \mathbb R$. Si $\beta \in \mathbb Q \setminus \mathbb R$... en realidad $\mathbb Q \subset \mathbb R$, así $\beta^2 \geq 0$, y $\beta^2 = -3 < 0$ es imposible. $\square$

(El argumento con $v_3$ es útil en extensiones: si hubiera $\beta$ en $\mathbb Q$ con $\beta^2 = -3$, entonces $v_3(\beta^2) = v_3(-3) = 1$, pero $v_3(\beta^2) = 2v_3(\beta)$ es par. Contradicción.)