Teoría de Números · Problemas resueltos

Problemas resueltos

Soluciones detalladas con teoría aplicada en el área de teoría de números.

IMO 1959 — Fracción irreducible (guiado paso a paso)

Demostrar que la fracción $\frac{21 n + 4}{14 n + 3}$ es irreducible para todo entero positivo $n$ . El primer problema del primer IMO de la historia, accesible y precioso para introducirse al algoritmo de Euclides.

IniciaciónIMO 1959 P1irreducibleeuclidesmcdguiado2026-02-13

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OMG 2016 — Divisibilidad y dígitos (guiado paso a paso)

Encontrar todos los números de tres cifras divisibles por 7 cuyo número formado al invertir sus dígitos es también divisible por 7. Un problema regional resuelto con todo el proceso de pensamiento explícito.

RegionalOMG 2016divisibilidaddigitosmodularguiado2026-02-13

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OMG 2017 — Divisibilidad de un cociente

Mostrar que $\frac{( 2 n )!}{n ! ( n + 1 )!}$ es entero para todo $n \geq 0$ . Un clásico de fase autonómica que esconde el número de Catalan.

RegionalOMG 2017combinatoriadivisibilidadfactorialescatalan2026-02-10

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OMG 2019 — Cuadrados perfectos consecutivos

Determinar todos los enteros $n$ tales que $n^{2} + 19 n + 92$ es un cuadrado perfecto. Un clásico de fase regional: acotar entre cuadrados.

RegionalOMG 2019cuadradosacotacionpolinomios2026-02-10

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OMG 2020 — Suma de potencias divisible por 7

Demostrar que $2^{2024} + 3^{2024} + 5^{2024}$ es divisible por 7. Aplicación directa del pequeño teorema de Fermat con un toque de orden.

RegionalOMG 2020fermatcongruenciasdivisibilidadmodular2026-02-10

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OMG 2021 — Sucesión con divisibilidad cíclica

Una sucesión donde cada término divide al siguiente sumado a uno. Mostrar que la sucesión es finita. Problema regional clásico de descenso.

RegionalOMG 2021sucesionesdivisibilidaddescensoOMG2026-02-12

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IMO 1988 P6 — Vieta Jumping (guiado paso a paso)

Sean $a, b$ enteros positivos tales que $ab + 1$ divide a $a^{2} + b^{2}$ . Demostrar que $\frac{a ^{2} + b ^{2}}{ab + 1}$ es un cuadrado perfecto. El problema que originó la técnica de los saltos de Vieta.

NacionalIMO 1988 P6vietadescensocuadradosdiofantica2026-02-13

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OME 2015 — Irracionalidad de $2 + 3$

Demostrar que $2 + 3$ es irracional. Problema clásico de fase nacional que ejercita el descenso y el manejo de extensiones cuadráticas.

NacionalOME 2015 (Fase Nacional)irracionalidaddescensoextensiones-cuadraticas2026-02-10

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OME 2019 — Polinomios y valores enteros (guiado paso a paso)

Hallar todos los polinomios con coeficientes enteros $P (x)$ tales que $P (n)$ divide a $n! - 1$ para todo entero positivo $n$ . Un problema nacional con análisis modular y argumentos de crecimiento.

NacionalOME 2019polinomiosfactorialescrecimientomodular2026-02-13

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IMO 2009/1 — Función entera divisor

Sea $n$ un entero positivo y $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}$ ( $k \geq 2$ ) enteros distintos del conjunto ${1, \dots, n}$ tales que $n ∣ a_{i} (a_{i + 1} - 1)$ para todo $i = 1, \dots, k - 1$ . Demostrar que $n ∤ a_{k} (a_{1} - 1)$ .

InternacionalIMO 2009, Problema 1congruenciasdivisibilidadsecuenciasmodular2026-02-10

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IMO 1988 · Problema 6 (Vieta jumping)

Si $a, b$ son enteros positivos tales que $ab + 1$ divide a $a^{2} + b^{2}$ , entonces $(a^{2} + b^{2}) / (ab + 1)$ es un cuadrado perfecto.

ÉliteIMO 1988, P6 (Australia)vieta-jumpingdescensoIMOecuaciones-diofanticas2026-01-16

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ISL 2014/N3 — Suma de divisores y cuadrados

Caracterización de los enteros para los que cierta función de divisores es impar. Problema de combinatoria fina con aritmética modular, nivel ISL.

ÉliteISL 2014, N3shortlistdivisoresparidadcombinatoria-numerica2026-02-12

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USAMO 2010/6 — Sucesiones, descenso y combinatoria

Un problema de USAMO de los más exigentes: caracterizar sucesiones combinatorias con propiedades aditivas. Requiere descenso, paridad fina y construcción explícita.

ÉliteUSAMO 2010, Problema 6USAMOsucesionesdescensocombinatoria2026-02-12

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