IMO 1988 P6 — Vieta Jumping (guiado paso a paso)

Buscar parejas $(a, b)$ que satisfagan la condición.

• $a = b = 1$: $\frac{1+1}{1+1} = 1 = 1^2$. ✓ (Cuadrado perfecto.)
• $a = 8, b = 2$: $\frac{64+4}{16+1} = \frac{68}{17} = 4 = 2^2$. ✓
• $a = 30, b = 8$: $\frac{900+64}{240+1} = \frac{964}{241} = 4 = 2^2$. ✓
• $a = 112, b = 30$: $\frac{12544+900}{3360+1} = \frac{13444}{3361} = 4 = 2^2$. ✓

Patrón. Las parejas $(8, 2), (30, 8), (112, 30), \ldots$ todas dan $k = 4$. Parece que $k$ es siempre el mismo cuadrado para una familia.

Más experimentación:

• $a = 27, b = 3$: $\frac{729+9}{81+1} = \frac{738}{82} = 9 = 3^2$. ✓ Da $k = 9$.

Conjetura. El valor de $k$ es siempre un cuadrado perfecto $\geq 1$.

El enunciado pide demostrar la conjetura. La técnica adecuada es Vieta Jumping — un método de descenso que aprovecha que la ecuación es cuadrática en una variable.

Hipótesis. Supongamos que existe una pareja $(a, b)$ con la propiedad y $k = \frac{a^2 + b^2}{ab + 1}$ no es un cuadrado perfecto.

Idea. Buscar una pareja "más pequeña" $(a', b')$ con la misma propiedad y el mismo $k$. Por descenso infinito, llegamos a un caso base que sí es cuadrado.

Entre todas las parejas $(a, b)$ con $a, b \geq 0$ y $\frac{a^2 + b^2}{ab + 1} = k$ no cuadrado, elegimos una con $a + b$ mínimo.

Sin pérdida de generalidad, $a \geq b > 0$ (si $a < b$ intercambiamos; si $b = 0$, $k = a^2/1 = a^2$, cuadrado, contradicción).

Fijamos $b$ y vemos la ecuación

como cuadrática en $x$:

Una raíz es $x_1 = a$. Sea $x_2$ la otra raíz. Por Vieta:

Ambas fórmulas dan $x_2$ entero (la primera, porque $k, b, a$ son enteros).

$x_2$ es entero: ya lo vimos por $x_2 = kb - a$.

$x_2 \geq 0$: vamos a probarlo por contradicción. Si $x_2 < 0$, entonces $x_2 \leq -1$. Por la ecuación,

Como $x_2 \leq -1$, $-x_2 \geq 1$. Calculamos:

Pero $x_2^2 \geq 0$, $kb |x_2| \geq kb \geq k$ (porque $b \geq 1$, $|x_2| \geq 1$), así

contradicción con que la suma sea $0$. Por tanto $x_2 \geq 0$.

$x_2 \cdot a = b^2 - k$. Si $b^2 - k < 0$, entonces $x_2 < 0$, ya descartado. Si $b^2 - k = 0$, $x_2 = 0$ y $k = b^2$, cuadrado, contradicción con nuestra hipótesis.

Así $b^2 - k > 0$, y

(Usamos $a \geq b$ en el penúltimo paso.)

Por tanto $x_2 < a$, así la nueva pareja $(x_2, b)$ tiene $x_2 + b < a + b$.

$(x_2, b)$ es otra pareja con la misma propiedad: $x_2, b$ enteros no negativos, $x_2 + b < a + b$, y

(Esto último porque $x_2$ es raíz de la cuadrática $x^2 - kbx + b^2 - k = 0$, equivalente a $x^2 + b^2 = k(xb + 1)$.)

Esto contradice la minimidad de $(a, b)$.

La hipótesis "existe pareja con $k$ no cuadrado" lleva a contradicción. Por tanto, $k$ es siempre un cuadrado. $\blacksquare$

Demostración. Supongamos por contradicción que existen $a, b$ enteros positivos con $(a^2 + b^2)/(ab+1) = k$ no cuadrado. Entre todas las parejas que cumplen esto, sea $(a, b)$ con $a + b$ mínimo y $a \geq b$.

Considera la cuadrática en $x$: $f(x) = x^2 - kbx + b^2 - k = 0$. Una raíz es $x = a$. Sea $a'$ la otra raíz. Por Vieta, $a' = kb - a$ (entero) y $a a' = b^2 - k$.

Si $a' = 0$, entonces $b^2 = k$, cuadrado, contradicción.

Si $a' < 0$, entonces $a' \leq -1$ y $f(a') = a'^2 + kb|a'| + b^2 - k \geq b^2 > 0$, contradicción con $f(a') = 0$.

Así $a' \geq 1$. Además $a' = (b^2 - k)/a < b^2/a \leq b \leq a$, así $a' < a$ y $a' + b < a + b$.

La pareja $(a', b)$ tiene la misma propiedad (por construcción) y suma menor, contradiciendo minimidad. Por tanto $k$ es cuadrado. $\blacksquare$

Si $k$ es un cuadrado, digamos $k = m^2$, las soluciones $(a, b)$ de $\frac{a^2+b^2}{ab+1} = m^2$ forman un árbol infinito desde la raíz $(m, 0)$. Cada nodo $(a, b)$ tiene dos vecinos: $(a, m^2 b - a)$ (saltando en la coordenada $a$) y $(m^2 a - b, a)$ (intercambiando y saltando).

Esta estructura de árbol es típica de los problemas resueltos por Vieta Jumping.