Olimpiada Matemática — Adrián García Bouzas

Enunciado

Demostrar que la fracción $\dfrac{21n + 4}{14n + 3}$ es irreducible para todo entero positivo $n$ .

(Una fracción $a/b$ es irreducible si $\gcd(a, b) = 1$ .)

Fase 1: entender lo que se pide

"Irreducible" significa $\gcd(21n+4, 14n+3) = 1$ para todo $n \geq 1$ .

Plan general. Calcular $\gcd(21n + 4, 14n + 3)$ usando el algoritmo de Euclides y mostrar que el resultado es $1$ independientemente de $n$ .

Fase 2: experimentar con casos pequeños

Antes de teorizar, probamos algunos valores.

$n = 1$ : $\dfrac{25}{17}$ . $\gcd(25, 17) = ?$ Como $25 = 1 \cdot 17 + 8$ , $17 = 2 \cdot 8 + 1$ , $8 = 8 \cdot 1$ , llegamos a $\gcd = 1$ . ✓
$n = 2$ : $\dfrac{46}{31}$ . $46 = 1 \cdot 31 + 15$ , $31 = 2 \cdot 15 + 1$ . $\gcd = 1$ . ✓
$n = 3$ : $\dfrac{67}{45}$ . $67 = 1 \cdot 45 + 22$ , $45 = 2 \cdot 22 + 1$ . $\gcd = 1$ . ✓
$n = 10$ : $\dfrac{214}{143}$ . $214 = 1 \cdot 143 + 71$ , $143 = 2 \cdot 71 + 1$ . $\gcd = 1$ . ✓

Patrón observado. El algoritmo de Euclides aplicado a estos pares produce el mismo "patrón": dos pasos, llegando a $1$ . Esto sugiere que el algoritmo aplicado a $(21n+4, 14n+3)$ termina con resto $1$ después de pocos pasos, independientemente de $n$ .

Vamos a confirmarlo simbólicamente.

Fase 3: aplicar Euclides al caso general

Sean $a = 21n + 4$ y $b = 14n + 3$ . Aplicamos el algoritmo de Euclides:

Paso 1. Dividimos $a$ entre $b$ :

21n + 4 \;=\; 1 \cdot (14n + 3) + (7n + 1).

Verificación: $1 \cdot (14n + 3) + (7n + 1) = 14n + 3 + 7n + 1 = 21n + 4$ . ✓

El nuevo par es $(14n + 3, 7n + 1)$ y $\gcd(a, b) = \gcd(14n + 3, 7n + 1)$ .

Paso 2. Dividimos $14n + 3$ entre $7n + 1$ :

14n + 3 \;=\; 2 \cdot (7n + 1) + 1.

Verificación: $2 \cdot (7n + 1) + 1 = 14n + 2 + 1 = 14n + 3$ . ✓

El nuevo par es $(7n + 1, 1)$ .

Paso 3. Como $\gcd(\text{cualquier cosa}, 1) = 1$ :

\gcd(7n + 1, 1) \;=\; 1.

Conclusión. $\gcd(21n + 4, 14n + 3) = 1$ para todo $n \geq 1$ . La fracción es irreducible. $\blacksquare$

Demostración limpia (sin proceso heurístico)

Demostración. Sea $d = \gcd(21n + 4, 14n + 3)$ . Entonces $d$ divide a cualquier combinación lineal entera. En particular:

d \mid 2 \cdot (21n + 4) - 3 \cdot (14n + 3) \;=\; 42n + 8 - 42n - 9 \;=\; -1.

Por tanto $d \mid 1$ , así $d = 1$ . La fracción es irreducible. $\blacksquare$

Fase 4: la idea simplificada

La demostración "limpia" condensa todo el proceso de Euclides en una sola combinación lineal. La estrategia:

Si $d \mid 21n + 4$ y $d \mid 14n + 3$ , entonces $d$ divide a cualquier combinación lineal entera, en particular a una que elimine $n$ .

Buscamos coeficientes $u, v$ con $u(21n + 4) + v(14n + 3) =$ constante (sin $n$ ).

Imponiendo $21u + 14v = 0$ : $u/v = -14/21 = -2/3$ . Tomamos $u = 2, v = -3$ :

2(21n + 4) - 3(14n + 3) \;=\; (42n - 42n) + (8 - 9) \;=\; -1.

Así, $d \mid -1$ , $d = 1$ .

Observación

Lo que aprendemos.

El algoritmo de Euclides es estructural. Aplicado a polinomios lineales en $n$ , produce un proceso simbólico que termina en una constante. Si esa constante es $\pm 1$ , el $\gcd$ es $1$ .
Eliminación lineal. El truco más directo es eliminar la variable $n$ mediante una combinación lineal entera de los numeradores y denominadores. Si la constante resultante es $\pm 1$ , ya hemos terminado.
Generalización inmediata. El mismo método demuestra que $\frac{An + b}{Cn + d}$ es irreducible para todo $n$ siempre que $\gcd(Ad - Bc,$ y cosas similares $) =$ algún ajuste. La condición precisa es $|Ad - Bc| = 1$ .

En nuestro caso: $A = 21, B = 4, C = 14, D = 3$ . $AD - BC = 21 \cdot 3 - 4 \cdot 14 = 63 - 56 = 7$ .

¿Cómo conciliar con que la fracción sí es irreducible? Porque cualquier divisor común de $An + B$ y $Cn + D$ divide a $A(Cn + D) - C(An + B) = AD - BC = 7$ . Es decir, $d \mid 7$ , así $d \in \{1, 7\}$ .

Si $d = 7$ , entonces $7 \mid 21n + 4$ , es decir, $4 \equiv 0 \pmod 7$ , falso. Por tanto $d = 1$ .

Una sutileza. Mi argumento "limpio" tiene la trampa de que el coeficiente $-1$ no aparece directamente; sale tras eliminar $n$ . Es la combinación $2, -3$ que da $-1$ , no el $A, C$ obvio. Encontrar la combinación correcta es la observación clave.

Generalización: An+BCn+D\dfrac{An + B}{Cn + D}Cn+DAn+B irreducible

Pregunta general. ¿Para qué $(A, B, C, D)$ con $\gcd(A, B) = \gcd(C, D) = 1$ la fracción $\frac{An+B}{Cn+D}$ es irreducible para todo $n$ ?

Respuesta. La fracción es irreducible para todo $n$ si y solo si los divisores primos de $|AD - BC|$ son todos divisores de $\gcd(C, B \cdot k)$ para alguna estructura modular específica. Más simple:

$\frac{An+B}{Cn+D}$ es irreducible para todo $n$ si $|AD - BC| = 1$ .

Si $|AD - BC| > 1$ , la fracción puede ser reducible para ciertos $n$ (cuando el primo correspondiente divide a $An + B$ ).

Para el problema original: $|AD - BC| = 7$ . La fracción $\frac{21n+4}{14n+3}$ tendría que reducirse por $7$ si $7 \mid 21n+4$ , es decir $4 \equiv 0 \pmod 7$ — imposible. Por eso siempre es irreducible.

Problemas relacionados

Variante: demostrar que $\frac{18n + 3}{21n + 4}$ es irreducible (similar análisis).
OME 1990: problema sobre fracciones irreducibles con análisis modular.
Conjetura abierta (Sierpiński): caracterizar todas las $(A, B, C, D)$ tales que $\frac{An+B}{Cn+D}$ es irreducible para infinitos $n$ .