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Teoría, teoremas y definiciones en el área de geometría.
Ángulos en la circunferencia: inscrito, central y semiinscrito
El ángulo inscrito es la mitad del central que abarca el mismo arco. Este resultado sencillo es el primer pilar de toda la geometría sintética del círculo y la fuente de la mayoría de las igualdades de ángulos en olimpiada.
Semejanza de triángulos y homotecia espiral
Dos triángulos son semejantes si tienen los mismos ángulos. Los criterios AA, LAL y LLL son las tres puertas de entrada a la proporción de lados. La homotecia espiral es la transformación que realiza cualquier semejanza directa.
Eje radical y centro radical de tres circunferencias
Dadas dos circunferencias, el lugar geométrico de los puntos con igual potencia respecto a ambas es una recta perpendicular a la línea de centros: el eje radical. Tres circunferencias dan tres ejes que concurren en un punto.
Lema del Tridente (Incentro-Excentro)
Sea el punto medio del arco del circuncírculo que no contiene a . Entonces equidista de , , del incentro y del excentro . Una herramienta sutil pero increíblemente útil.
Línea de Simson y línea de Steiner
Para todo punto del circuncírculo de un triángulo, las tres proyecciones de sobre los lados son colineales. La recta resultante (Simson) y su reflexión (Steiner) producen configuraciones bellas y útiles.
Potencia de un punto respecto a una circunferencia
Para cualquier recta por que corta a en y , el producto es constante: es la potencia de . Este invariante conecta secantes, tangentes, cuerdas y abre la puerta al eje radical y la inversión.
Punto de Fermat-Torricelli y optimización geométrica
Dados tres puntos , ¿qué punto minimiza ? La respuesta es el punto de Fermat-Torricelli: el único punto desde el cual los tres segmentos forman ángulos de entre sí (cuando el triángulo es bien acotado).
Puntos de Gergonne y Nagel
Dos puntos clásicos del triángulo: Gergonne (intersección de cevianas a los puntos de tangencia del incírculo) y Nagel (cevianas a los puntos de tangencia de los excírculos). Caso particular de Brianchon.
Puntos notables del triángulo: I, O, G, H y los excentros
Incentro, circuncentro, baricentro, ortocentro y los tres excentros. Las propiedades fundamentales de los cuatro puntos clásicos y sus relaciones (recta de Euler, distancias, configuraciones).
Teorema de Carnot: criterio para perpendiculares concurrentes
Tres rectas, cada una perpendicular a un lado del triángulo desde un punto, concurren si y solo si una identidad de cuadrados de distancias se satisface. Un criterio limpio y muy útil.
Teorema de Ceva
Tres cevianas de un triángulo son concurrentes si y solo si el producto de las razones en que dividen los lados opuestos es . El criterio algebraico central para probar concurrencia en problemas olímpicos.
Teorema de Menelao
Tres puntos sobre las rectas que contienen los lados de un triángulo son colineales si y solo si el producto de tres razones signadas es . La herramienta dual del teorema de Ceva y la puerta de entrada a la geometría proyectiva.
Teorema de Stewart: longitudes de cevianas
Si es una ceviana del triángulo con , entonces donde . Una identidad que reduce muchas configuraciones a aritmética.
Trigonometría del triángulo: ley de senos, cosenos e identidades
Las leyes fundamentales que relacionan lados y ángulos de un triángulo, más una colección de identidades que aparecen sistemáticamente en problemas olímpicos. Indispensable para geometría calculada.
Circunferencia de los nueve puntos
En todo triángulo, los nueve puntos especiales — pies de las alturas, puntos medios de los lados, y puntos medios de los segmentos del ortocentro a los vértices — son concíclicos. Una de las configuraciones más bellas de la geometría del triángulo.
Desigualdades en el triángulo
Desigualdad triangular, isoperimétrica, Weitzenböck, Erdős–Mordell. El catálogo de desigualdades geométricas que aparecen una y otra vez en olimpiada, con sus pruebas completas.
Desigualdades geométricas clásicas: Erdős–Mordell, Hadwiger–Finsler, Weitzenböck
Tres desigualdades centrales de la geometría olímpica: Erdős–Mordell relaciona distancias desde un punto interior; Weitzenböck acota lados por área; Hadwiger–Finsler refina Weitzenböck.
Polos y polares: dualidad respecto a una circunferencia
Dada una circunferencia y un punto , la polar de es una recta canónica asociada. La correspondencia polar establece una dualidad profunda entre puntos y rectas.
Razón cruzada y cuaternas armónicas
La razón cruzada de cuatro puntos alineados es un invariante proyectivo: se preserva bajo proyecciones y, en particular, bajo inversión. Cuando vale , los puntos son armónicos.
Rotohomotecia (similitud espiral) y el centro de semejanza
Una rotohomotecia es la composición de una rotación con una homotecia desde el mismo centro. Es la transformación que envía cualquier segmento orientado a cualquier otro. Su centro aparece naturalmente en configuraciones de cuadriláteros cíclicos.
Simedianas, isogonales y el punto de Lemoine
La reflexión de una mediana sobre la bisectriz interna es la simediana. Las tres simedianas concurren en el punto de Lemoine. Una de las configuraciones triangulares más ricas y útiles.
Teorema de Feuerbach
La circunferencia de los nueve puntos es tangente internamente al incírculo y tangente externamente a los tres excírculos. Una de las configuraciones más sorprendentes de la geometría sintética, con demostración por cálculo vectorial.
Teorema de Miquel y el punto de Miquel
Dados un triángulo y tres puntos uno en cada lado, los tres circuncírculos definidos concurren en un punto. Una de las concurrencias más bellas y útiles de la geometría sintética.
Teorema de Ptolomeo y su forma generalizada
En un cuadrilátero cíclico, el producto de las diagonales iguala a la suma de los productos de los lados opuestos. Una identidad métrica fundamental.
Teoremas de Pascal y Brianchon
Pascal: los lados opuestos de un hexágono inscrito en una cónica se cortan en tres puntos colineales. Brianchon (dual): las diagonales principales de un hexágono circunscrito concurren. Dos herramientas poderosas para colinealidad y concurrencia.