Puntos notables del triángulo: I, O, G, H y los excentros

Sea $ABC$ un triángulo con lados $a = |BC|$, $b = |CA|$, $c = |AB|$, semiperímetro $s = (a+b+c)/2$, y área $[ABC]$.

Baricentro $G$

Definición. Intersección de las tres medianas. Equivalentemente, $G = \frac{A + B + C}{3}$.

Propiedades.

• Divide cada mediana en razón $2:1$ desde el vértice.
• Es el centroide físico (centro de masas si las tres masas en los vértices son iguales).
• Coordenadas baricéntricas: $G = (1:1:1)$.

Circuncentro $O$

Definición. Intersección de las tres mediatrices. Equidista de los tres vértices: $|OA| = |OB| = |OC| = R$ (circunradio).

Fórmula del circunradio. Por la ley extendida del seno:

Coordenadas baricéntricas: $O = (a^2(b^2+c^2-a^2) : b^2(c^2+a^2-b^2) : c^2(a^2+b^2-c^2))$.

Incentro $I$

Definición. Intersección de las tres bisectrices internas. Equidista de los tres lados: distancia $r$ (inradio) a cada uno.

Fórmula del inradio.

Posición. En coordenadas baricéntricas, $I = (a:b:c)$, es decir, $I = \frac{aA + bB + cC}{a+b+c}$.

Caracterización angular. El incentro es el único punto interior $P$ tal que las distancias a los tres lados son iguales.

Ortocentro $H$

Definición. Intersección de las tres alturas.

Caracterización vectorial. Con el origen en el circuncentro $O$:

Propiedades.

• $|AH| = 2R |\cos A|$ (y análogas para $|BH|, |CH|$).
• En triángulo acutángulo, $H$ es interior; en obtusángulo, exterior.
• $H$ y $A$ son isogonales conjugados respecto a $\triangle BCO$.

Definición. El excentro opuesto a $A$, denotado $I_A$, es el centro de la circunferencia tangente al lado $BC$ y a las extensiones de los lados $AB$, $AC$. Análogamente $I_B$, $I_C$.

Propiedades fundamentales.

• $I_A$ es la intersección de la bisectriz interna del ángulo $A$ y las bisectrices externas de los ángulos $B$, $C$.
• Coordenadas baricéntricas: $I_A = (-a : b : c)$, $I_B = (a : -b : c)$, $I_C = (a : b : -c)$.
• El exradio $r_A$ asociado a $I_A$ satisface:

• $\frac{1}{r} = \frac{1}{r_A} + \frac{1}{r_B} + \frac{1}{r_C}$.

El triángulo $I_A I_B I_C$ tiene como ortocentro al incentro $I$ del triángulo original. Sus lados pasan por los vértices de $\triangle ABC$.

Teorema. En todo triángulo no equilátero, los puntos $O$, $G$, $H$ son colineales, y

Es decir, $G$ está en el segmento $OH$, dividiéndolo en razón $1:2$ desde $O$.

Demostración. Con $O$ como origen, $\vec{OG} = \frac{A+B+C}{3}$ y $\vec{OH} = A+B+C$. La relación es directa: $\vec{OH} = 3\vec{OG}$. $\blacksquare$

Punto $N$ (centro de la circunferencia de los nueve puntos). Es el punto medio de $OH$, también en la recta de Euler. Su posición exacta es

Lema (clave). Sea $M_A$ el punto medio del arco $BC$ del circuncírculo que no contiene a $A$. Entonces

Es decir, $M_A$ es el centro del círculo que pasa por $B$, $C$ e $I$.

Demostración. Calculamos los ángulos.

$\angle BIM_A = \angle BAI + \angle ABM_A$ (ángulo exterior del $\triangle ABI$ en $I$).

$\angle BAI = A/2$ (bisectriz). $\angle ABM_A$ es ángulo inscrito sobre $AM_A$. Como $AM_A$ subtiende el arco $\widehat{AM_A}$ y por simetría $|AM_A| =$ ..., con un poco de cálculo: $\angle ABM_A = \angle ABM_A = B/2$ (este es el truco — $M_A$ está sobre la bisectriz desde $A$ y simetría angular).

Por tanto $\angle BIM_A = A/2 + B/2$.

Por otro lado, $\angle IBM_A = \angle IBA + \angle ABM_A = B/2 + ? = A/2 + B/2$ (cálculo análogo).

Como $\angle BIM_A = \angle IBM_A$, el triángulo $\triangle BIM_A$ es isósceles con $M_A B = M_A I$. $\blacksquare$

Este lema es una de las herramientas más útiles de la geometría olímpica.