Olimpiada Matemática — Adrián García Bouzas

Definición

Sean $A, B, C, D$ cuatro puntos distintos sobre una recta. Su razón cruzada es

(A, B; C, D) \;=\; \frac{\overline{CA}}{\overline{CB}} \cdot \frac{\overline{DB}}{\overline{DA}},

donde $\overline{XY}$ denota la longitud orientada (signo según orientación de la recta).

Equivalentemente, fijando un origen en la recta y considerando coordenadas $a, b, c, d$ :

(A, B; C, D) \;=\; \frac{(c-a)(d-b)}{(c-b)(d-a)}.

Razón cruzada de un haz de rectas

Sea $P$ un punto y $\ell_1, \ell_2, \ell_3, \ell_4$ cuatro rectas por $P$ . Su razón cruzada se define como el valor común $(A, B; C, D)$ cuando $A, B, C, D$ son las intersecciones de las rectas con cualquier transversal — y este valor no depende de la transversal.

Equivalentemente, en función de los ángulos:

(\ell_1, \ell_2; \ell_3, \ell_4) \;=\; \frac{\sin(\ell_3, \ell_1)}{\sin(\ell_3, \ell_2)} \cdot \frac{\sin(\ell_4, \ell_2)}{\sin(\ell_4, \ell_1)}.

Invariancia bajo proyección

Teorema (fundamental). Sean $A, B, C, D$ cuatro puntos colineales en una recta $\ell_1$ . Sea $P$ un punto exterior a $\ell_1$ , y proyectemos $A, B, C, D$ desde $P$ sobre otra recta $\ell_2$ , obteniendo $A', B', C', D'$ . Entonces

(A, B; C, D) \;=\; (A', B'; C', D').

Demostración. Aplicar la ley de senos en los triángulos $\triangle PAC$ , etc. y simplificar. La igualdad de ángulos vistos desde $P$ es el ingrediente clave. $\blacksquare$

Cuaternas armónicas

Definición. Cuatro puntos colineales $A, B, C, D$ forman una cuaterna armónica si $(A, B; C, D) = -1$ . Decimos también que $D$ es el conjugado armónico de $C$ respecto a $A$ y $B$ .

Equivalencias:

(A, B; C, D) = -1 \;\Longleftrightarrow\; \frac{|CA|}{|CB|} = \frac{|DA|}{|DB|} \text{ con } C, D \text{ separando vs no separando } A, B.

Propiedades

Permutaciones

Las $24$ permutaciones de cuatro puntos producen solo seis valores distintos de razón cruzada. Si $r = (A, B; C, D)$ , los seis valores son:

r, \quad \frac{1}{r}, \quad 1 - r, \quad \frac{1}{1-r}, \quad \frac{r-1}{r}, \quad \frac{r}{r-1}.

Cuaternas armónicas y polos

Conexión fundamental con polos y polares. Sean $A, B$ dos puntos de una circunferencia $\omega$ y $C, D$ dos puntos colineales con $A, B$ . Entonces

(A, B; C, D) \;=\; -1 \;\Longleftrightarrow\; C \text{ y } D \text{ son conjugados respecto a } \omega.

Es decir, $C$ está en la polar de $D$ (y recíprocamente, por la dualidad polar).

Cuaternas armónicas y bisectrices

Lema clave. En un triángulo $ABC$ , las bisectrices interna y externa desde $A$ cortan al lado $BC$ (extendido) en dos puntos $D$ (interna) y $E$ (externa). Entonces

(B, C; D, E) \;=\; -1.

Es decir, $D$ y $E$ son conjugados armónicos respecto a $B, C$ .

Demostración. Por el teorema de la bisectriz interna: $|BD|/|DC| = c/b$ . Por el de la bisectriz externa: $|BE|/|EC| = -c/b$ (con signo opuesto). El producto:

\frac{|BD|}{|DC|} \cdot \frac{|EC|}{|EB|} \;=\; \frac{c}{b} \cdot \frac{b}{-c} \;=\; -1. \quad \blacksquare

Configuraciones armónicas clásicas

Cuadrilátero completo. Las tres diagonales del cuadrilátero completo determinan cuaternas armónicas con los lados: $A, B, X, Y$ donde $X, Y$ son las intersecciones diagonales. Este es el origen del concepto de "armónico" en geometría proyectiva.

Aplicaciones

Aplicación 1: detección de polaridad

Si en un problema aparece " $C$ está en la polar de $D$ respecto a $\omega$ ", podemos sustituir por " $(A, B; C, D) = -1$ " con $A, B$ las intersecciones de $CD$ con $\omega$ — y viceversa.

Esta traducción es una de las llaves maestras de la geometría proyectiva olímpica.

Aplicación 2: invariancia bajo proyecciones

Si un problema involucra varias proyecciones desde un punto a otra recta, la razón cruzada se conserva. Esto permite "transportar" la información a través de la configuración sin perder precisión.

Aplicación 3: cuadriláteros armónicos en circunferencia

Un cuadrilátero cíclico $ABCD$ es armónico si $|AB| \cdot |CD| = |AD| \cdot |BC|$ . Equivalentemente, las tangentes en $A$ y $C$ se cortan en un punto sobre la recta $BD$ (o las tangentes en $B$ y $D$ sobre la recta $AC$ ).

Los cuadriláteros armónicos son fundamentales en muchos problemas porque conectan tangencia, razón cruzada y simedianas.

Aplicación 4: problemas olímpicos

IMO 2012/1. El excentro y la armonía de las bisectrices internas/externas.

EGMO 2019. Problema con configuración armónica oculta.

APMO 2018/4. Aplicación de invariancia bajo proyecciones.

Observación

Lenguaje proyectivo. La razón cruzada y las cuaternas armónicas son el vocabulario nativo de la geometría proyectiva. Cuando un problema parece "demasiado preciso" — todo encaja exactamente con razón $-1$ , ciertos puntos están colineales, ciertas rectas concurren — es señal de que la estructura proyectiva subyacente es lo que está hablando.

Diagnóstico rápido. Si en un problema:

Aparecen las bisectrices interna y externa desde un mismo vértice,
O dos pares de cevianas con razón inversa,
O un cuadrilátero cíclico con producto de lados opuestos iguales,
O un cuadrilátero completo,

entonces hay (probablemente) una cuaterna armónica relevante.

Problemas relacionados

IMO 1995/1. Cuaterna armónica en una configuración cíclica.
OIM 2007. Aplicación de razón cruzada en triángulos perspectivos.
Teorema de Steiner-Lehmus: un triángulo con dos bisectrices iguales es isósceles. Demostración elegante vía cuaternas armónicas.
Generalización a cónicas: la razón cruzada se generaliza a cuatro puntos en una cónica, igualmente proyectivamente invariante.