Olimpiada Matemática — Adrián García Bouzas

Definición

Una rotohomotecia (o similitud espiral) con centro $O$ , ángulo $\theta$ y razón $k$ es la transformación del plano que envía cada punto $P$ a $P'$ tal que:

$|OP'| = k \cdot |OP|$ (homotecia con centro $O$ , razón $k$ ).
$\angle POP' = \theta$ (rotación con centro $O$ , ángulo $\theta$ ).

Equivalentemente, en el plano complejo con $O$ como origen, una rotohomotecia es la multiplicación por $z \mapsto \alpha z$ donde $\alpha = k e^{i\theta}$ .

Casos especiales:

$\theta = 0$ : homotecia pura.
$k = 1$ : rotación pura.
$\theta = \pi$ y $k > 0$ : equivale a homotecia con razón $-k$ .

Teorema (existencia y unicidad)

Dados dos segmentos $AB$ y $CD$ (con $AB \neq 0$ , $CD \neq 0$ ), existe una única rotohomotecia que envía $A \mapsto C$ y $B \mapsto D$ . Su centro $O$ está caracterizado por:

\triangle OAB \sim \triangle OCD \quad (\text{orientación preservada}).

Equivalentemente, $O$ es la intersección de los lugares geométricos: $\{P : \angle APB = \angle CPD\}$ con $\{P : |PA|/|PB| = |PC|/|PD|\}$ , ambos arcos circulares.

Construcción del centro

Caracterización clásica. Sea $X = AC \cap BD$ y sean $\omega_1$ el circuncírculo de $\triangle ABX$ (o de los puntos relevantes) y $\omega_2$ el de $\triangle CDX$ . Entonces el centro $O$ de la rotohomotecia que envía $AB$ a $CD$ es la segunda intersección de $\omega_1$ y $\omega_2$ (la primera es $X$ ).

Lema de la rotohomotecia

Lema fundamental. Sean $A, B, C, D$ cuatro puntos del plano. Sean:

$\omega_1 =$ circuncírculo de $\triangle (A, B, AB \cap CD)$ ,
$\omega_2 =$ circuncírculo de $\triangle (C, D, AB \cap CD)$ .

Entonces $\omega_1$ y $\omega_2$ se cortan en el punto $X = AB \cap CD$ y en otro punto $P$ , que es el centro de la rotohomotecia que envía $AB \mapsto CD$ (y simultáneamente el de la que envía $AC \mapsto BD$ ).

Corolario. El centro de la rotohomotecia que envía $A \mapsto C$ , $B \mapsto D$ coincide con el de la que envía $A \mapsto B$ , $C \mapsto D$ . Es decir, una rotohomotecia tiene "doble vida" en cuadriláteros.

Demostración del lema

Sea $X = AB \cap CD$ , $P = \omega_1 \cap \omega_2$ distinto de $X$ .

Por estar en $\omega_1$ : $P, X, A, B$ concíclicos. Por arco capaz: $\angle BPA = \angle BXA$ (o suplementario).

Por estar en $\omega_2$ : $P, X, C, D$ concíclicos. $\angle DPC = \angle DXC$ .

Pero $\angle BXA$ y $\angle DXC$ son ángulos opuestos por el vértice en $X$ , así $\angle BXA = \angle DXC$ .

Por tanto $\angle BPA = \angle DPC$ .

Análogamente $\angle PAB = \angle PCD$ y $\angle PBA = \angle PDC$ por arco capaz.

Conclusión: $\triangle PAB \sim \triangle PCD$ con orientación preservada. La rotohomotecia con centro $P$ que envía $A \mapsto C$ envía también $B \mapsto D$ . $\blacksquare$

Aplicaciones

Aplicación 1: cuadriláteros cíclicos

Configuración estrella. Si $ABCD$ es un cuadrilátero (no necesariamente convexo o cíclico), con diagonales que se cortan en $X$ , y $P$ es el centro de la rotohomotecia que envía $AB$ a $DC$ , entonces $P, X, A, B$ son concíclicos y $P, X, C, D$ son concíclicos. Los dos circuncírculos pasan por $X$ y $P$ .

Esto es un recurso muy potente para identificar puntos concíclicos.

Aplicación 2: detección de rotohomotecia oculta

Cuando un problema involucra dos pares de puntos $(A, B)$ y $(C, D)$ y se piden propiedades de proyecciones, perpendiculares o circuncentros relacionados, el centro de la rotohomotecia que envía $A \to C$ y $B \to D$ suele ser un punto distinguido.

Diagnóstico. Si en un problema:

Hay dos segmentos $AB$ y $CD$ ,
Y se pide demostrar concurrencia de circuncírculos o cocircularidad,

prueba a buscar el centro de la rotohomotecia.

Aplicación 3: IMO 1993/2 — el problema clásico

Enunciado. Sea $D$ un punto interior al triángulo acutángulo $ABC$ tal que $\angle ADB = \angle ACB + 90°$ y $AC \cdot BD = AD \cdot BC$ . Calcular $\frac{|AB| \cdot |CD|}{|AC| \cdot |BD|}$ .

Idea de solución. La igualdad $AC \cdot BD = AD \cdot BC$ se reescribe como $\frac{AD}{AC} = \frac{BD}{BC}$ . Existe una rotohomotecia con centro $A$ que envía $C$ a $D$ , y otra con centro $B$ que envía $C$ a $D$ . Combinando con la condición angular, la configuración se desbloquea.

Respuesta: $\sqrt 2$ .

Aplicación 4: cocircularidad por rotohomotecia

Variante de problema. Cuatro puntos $A, B, C, D$ con propiedades específicas: ¿son concíclicos? A veces, identificar una rotohomotecia oculta entre los pares revela la respuesta.

Identidad de Davies

Teorema. Sean $ABCD$ cuatro puntos. La rotohomotecia que envía $A \to C, B \to D$ tiene mismo centro que la que envía $A \to B, C \to D$ (y que la que envía $B \to A, D \to C$ — todas son la misma transformación al revés o lo mismo).

Esto es lo que se llama la propiedad de la rotohomotecia "doble" y es la base de muchos problemas.

Observación

Cómo reconocer una rotohomotecia oculta.

Dos cuadriláteros, triángulos, o figuras "semejantes" en el problema.
Se piden propiedades de circuncírculos, concurrencia, o cocircularidad.
Hay una relación angular como $\angle XAY = \angle XBY$ o una proporción $|XA|/|XB| = |YA|/|YB|$ .

En cualquiera de estos casos, identificar el centro de la rotohomotecia simplifica.

Una palanca técnica. Cuando un problema parece "no agarrar" desde ángulos, longitudes o potencias, probar rotohomotecia suele desbloquearlo. Es una herramienta de nivel olímpico avanzado pero muy versátil.

Problemas relacionados

IMO 1993/2. Citado.
EGMO 2018/6. Configuración compleja resuelta con rotohomotecia.
APMO 2017/3. Cocircularidad oculta vía similitud espiral.
ISL 2006 G4. Otra aplicación clásica.
Teorema del centro de Miquel (cuadrilátero completo): el centro de Miquel es precisamente el centro de la rotohomotecia entre los pares opuestos.