Simedianas, isogonales y el punto de Lemoine

Propiedad 1. Las tres simedianas (una desde cada vértice) concurren en un punto llamado punto de Lemoine o punto simediano $K$.

Propiedad 2. El punto de Lemoine es el conjugado isogonal del baricentro $G$.

Propiedad 3. La simediana desde $A$ corta al lado $BC$ en un punto $S$ tal que:

$$\frac{|BS|}{|SC|} \;=\; \frac{|AB|^2}{|AC|^2} \;=\; \frac{c^2}{b^2}.$$

(Compárese con la mediana: $|BM|/|MC| = 1$; y con la bisectriz: $|BD|/|DC| = c/b$. La simediana es la media geométrica entre ambas en cierto sentido.)

Propiedad 4 (tangentes). La simediana desde $A$ es la diagonal del paralelogramo cuyas tangentes al circuncírculo en $B$ y $C$ son lados.

Equivalentemente: si $T$ es la intersección de las tangentes al circuncírculo en $B$ y $C$, entonces $A, K, T$ son colineales, donde la recta $AT$ es la simediana desde $A$.

Por Ceva trigonométrica. Las tres simedianas son las isogonales de las medianas. Las medianas concurren en $G$. Es un hecho general que las isogonales de cevianas concurrentes son concurrentes (en el conjugado isogonal). Por tanto las simedianas concurren. $\blacksquare$

Propiedad 3 ($|BS|/|SC| = c^2/b^2$):

Sea $AM$ la mediana, con $M$ punto medio de $BC$, y $AS$ la simediana, $S \in BC$. Sea $AD$ la bisectriz interna, con $D \in BC$.

Como $AM$ y $AS$ son simétricas respecto a $AD$:

$$\angle BAS \;=\; \angle MAC, \qquad \angle CAS \;=\; \angle MAB.$$

Por el teorema del seno aplicado a los triángulos $\triangle ABS, \triangle ACS$:

$$\frac{|BS|}{|AB|} \;=\; \frac{\sin\angle BAS}{\sin\angle ASB}, \qquad \frac{|SC|}{|AC|} \;=\; \frac{\sin\angle CAS}{\sin\angle ASC}.$$

Como $\angle ASB + \angle ASC = \pi$, $\sin\angle ASB = \sin\angle ASC$. Dividiendo:

$$\frac{|BS|}{|SC|} \;=\; \frac{|AB| \sin\angle BAS}{|AC| \sin\angle CAS} \;=\; \frac{c \sin\angle MAC}{b \sin\angle MAB}.$$

Por otro lado, aplicando seno al triángulo con la mediana $AM$:

$$\frac{|BM|}{\sin\angle MAB} \cdot \frac{1}{|AM|} \;=\; \cdots$$

Tras manipular: $\sin\angle MAB / \sin\angle MAC = b/c$ (por la ley de senos en los subtriángulos), así

$$\frac{|BS|}{|SC|} \;=\; \frac{c}{b} \cdot \frac{c}{b} \;=\; \frac{c^2}{b^2}. \quad \blacksquare$$

Definición. Sean $P$ un punto interior del triángulo $ABC$ y $AP, BP, CP$ las cevianas desde los vértices. El conjugado isogonal $P^*$ se construye reflejando cada $AP$, $BP$, $CP$ sobre la bisectriz del ángulo correspondiente. Las tres cevianas reflejadas concurren en $P^*$.

Pares clásicos.

$P$	$P^*$
Baricentro $G$	Lemoine $K$
Circuncentro $O$	Ortocentro $H$
Incentro $I$	$I$ (es su propio conjugado)
Excentro $I_A$	$I_A$
Punto de Gergonne	Punto de Nagel

Propiedad geométrica. Si $P^*$ es el conjugado isogonal de $P$, entonces las proyecciones de $P^*$ sobre los lados son concíclicas, y el círculo correspondiente tiene cierta relación con $P$.