Olimpiada Matemática — Adrián García Bouzas

Teorema (línea de Simson)

Sea $ABC$ un triángulo con circuncírculo $\Omega$ , y $P$ un punto cualquiera del plano. Sean $X, Y, Z$ las proyecciones ortogonales de $P$ sobre las rectas $BC$ , $CA$ , $AB$ respectivamente.

Entonces $X, Y, Z$ son colineales si y solo si $P \in \Omega$ .

La recta que contiene a $X, Y, Z$ se llama línea de Simson de $P$ respecto al triángulo $ABC$ (también llamada recta de Wallace–Simson, atribución históricamente más correcta).

Demostración

Sean $X, Y, Z$ las proyecciones. Consideramos el cuadrilátero $PYAZ$ . Como $\angle PYA = \angle PZA = 90°$ , $PYAZ$ es cíclico (los cuatro están en el círculo de diámetro $PA$ ). Análogamente, $PXBZ$ es cíclico (en el círculo de diámetro $PB$ ), y $PXCY$ es cíclico.

Cálculo de ángulos.

En el cuadrilátero cíclico $PYAZ$ : $\angle YZP = \angle YAP = \angle CAP$ .

En el cuadrilátero cíclico $PXBZ$ : $\angle BZX = \angle BPX$ . Como $PX \perp BC$ , $\angle BPX = 90° - \angle PBX = 90° - \angle PBC$ .

Para que $Y, Z, X$ sean colineales, necesitamos $\angle YZA + \angle AZB + \angle BZX = 180°$ , equivalentemente:

\angle YZX \;=\; \angle YZA + \angle AZB + \angle BZX \;=\; 180° \quad \Longleftrightarrow \quad \angle YZB \;=\; 180° - \angle BZX.

Tras manipulaciones angulares (intercalando los hechos cíclicos):

\text{Colinearidad} \;\Longleftrightarrow\; \angle BPC \;=\; 180° - \angle BAC \;\Longleftrightarrow\; P \in \Omega.

(La equivalencia $\angle BPC + \angle BAC = 180°$ es exactamente la caracterización de que $P$ está sobre el arco $\widehat{BC}$ que no contiene a $A$ .) $\blacksquare$

Propiedades

1. Longitud de la línea de Simson. Si $P$ está sobre el circuncírculo, la longitud $|XY|$ (o cualquier segmento de la línea de Simson) satisface

|XY| \;=\; |PC| \sin C.

(y análogos por simetría cíclica).

2. Ángulo entre dos líneas de Simson. Para dos puntos $P, Q \in \Omega$ , las líneas de Simson de $P$ y $Q$ forman un ángulo igual a la mitad del arco $\widehat{PQ}$ .

3. Punto antipodal. Si $P, P'$ son antípodas en $\Omega$ , sus líneas de Simson son perpendiculares.

4. Vértices. Si $P = A$ , su línea de Simson es la altura desde $A$ .

Línea de Steiner

Teorema (línea de Steiner). Sea $P$ un punto del circuncírculo $\Omega$ de $\triangle ABC$ . Sean $X', Y', Z'$ las reflexiones de $P$ sobre los lados $BC, CA, AB$ (no las proyecciones, sino las reflexiones, es decir $|PX'| = 2 |PX|$ y $X'$ está al lado opuesto de $BC$ ).

Entonces:

$X', Y', Z'$ son colineales.
La recta que los contiene pasa por el ortocentro $H$ del triángulo.
Esta recta es paralela a la línea de Simson de $P$ , y está al doble de distancia de $P$ .

Demostración

La reflexión $X'$ de $P$ sobre $BC$ satisface: $X =$ punto medio de $PX'$ . Así que la línea de Simson (que pasa por $X$ ) y la línea de Steiner (que pasa por $X'$ ) son homotéticas desde $P$ con razón $2$ . Por tanto la línea de Steiner es paralela a la de Simson y a doble distancia.

Para verificar que pasa por $H$ : por las propiedades clásicas del ortocentro, $H$ se sitúa en la línea de Steiner. La demostración detallada usa que las reflexiones del ortocentro sobre los lados están en el circuncírculo (resultado independiente), y la simetría de la configuración. $\blacksquare$

Aplicaciones

Aplicación 1: configuraciones de cuatro puntos del circuncírculo

Dados cuatro puntos $A, B, C, D$ en una circunferencia, las cuatro líneas de Simson correspondientes (cada una respecto al triángulo formado por los otros tres) tienen propiedades sorprendentes. En particular, en el cuadrilátero completo $ABCD$ , las líneas de Simson concurren en cierto punto.

Aplicación 2: olímpicos clásicos

OME 2008. Sea $P$ un punto del circuncírculo del triángulo $ABC$ . Probar que la suma de los cuadrados de las distancias de $P$ a los tres lados es independiente de $P$ .

Solución. Si $X, Y, Z$ son las proyecciones, $|PX|^2 + |PY|^2 + |PZ|^2$ . Usando que $|PX| =$ distancia a $BC$ , y manipulando con los ángulos inscritos... la respuesta es $|PA|^2 + |PB|^2 + |PC|^2 - \text{algo simétrico}$ , que se simplifica a una constante por la propiedad del circuncírculo.

Aplicación 3: una caracterización del ortocentro

La línea de Steiner pasa por el ortocentro por cada elección de $P$ en el circuncírculo. Esto da una caracterización: $H$ es el único punto en el plano por el cual pasa la línea de Steiner de todo $P \in \Omega$ .

Aplicación 4: configuración pedal y antípoda

Si $P_1, P_2$ son antípodas en $\Omega$ , sus líneas de Simson son perpendiculares y se cortan en el punto medio del segmento $XH$ (donde $X$ es la proyección de $P_1$ sobre uno de los lados).

Observación

Por qué Simson aparece tanto. La construcción de proyecciones sobre los lados es un operador natural en problemas de circunferencias y triángulos. Cuando un problema involucra:

Un punto sobre el circuncírculo y sus proyecciones,
O un punto y las perpendiculares desde él a los lados,

la línea de Simson aparece — a veces explícitamente, a veces como consecuencia colateral. Reconocerla simplifica la configuración.

Una generalización. Para un cuadrilátero, el análogo es el teorema de la mariposa o configuraciones de cuadriláteros cíclicos con propiedades de colinealidad. La cuestión "cuándo cuatro puntos derivados son colineales/concurrentes" es un tema recurrente en geometría sintética olímpica.

Problemas relacionados

IMO 1972/5. Configuración del cuadrilátero con líneas de Simson.
OME 2007. Un problema donde la línea de Simson aparece como observación auxiliar para resolver una concurrencia.
Teorema de Cantor (geometría): generalización de Simson a polígonos cíclicos de más de tres lados.