Olimpiada Matemática — Adrián García Bouzas

Teorema

Sea $ABC$ un triángulo con $a = |BC|$ , $b = |CA|$ , $c = |AB|$ . Sea $D$ un punto sobre el segmento $BC$ , con $m = |BD|$ , $n = |DC|$ , así que $a = m + n$ . Sea $d = |AD|$ . Entonces

b^2 m + c^2 n - a(d^2 + mn) \;=\; 0.

Equivalentemente:

b^2 m + c^2 n \;=\; a d^2 + amn.

Demostración

Vía teorema del coseno. Sean $\angle ADB = \theta$ y $\angle ADC = \pi - \theta$ (suplementarios). Aplicamos el teorema del coseno en los triángulos $ABD$ y $ACD$ :

c^2 \;=\; m^2 + d^2 - 2md\cos\theta,

b^2 \;=\; n^2 + d^2 - 2nd\cos(\pi - \theta) \;=\; n^2 + d^2 + 2nd\cos\theta.

Multiplicamos la primera por $n$ y la segunda por $m$ :

c^2 n \;=\; m^2 n + d^2 n - 2mnd\cos\theta,

b^2 m \;=\; mn^2 + d^2 m + 2mnd\cos\theta.

Sumando, los términos en $\cos\theta$ se cancelan:

b^2 m + c^2 n \;=\; m^2 n + mn^2 + d^2(m + n) \;=\; mn(m + n) + d^2(m + n) \;=\; a(mn + d^2).

Esto es exactamente lo que queríamos. $\blacksquare$

Ejemplo

Ejemplo 1 (longitud de la mediana). Si $D$ es el punto medio de $BC$ , entonces $m = n = a/2$ . Sustituyendo en Stewart:

b^2 \cdot \tfrac{a}{2} + c^2 \cdot \tfrac{a}{2} \;=\; a \cdot \tfrac{a^2}{4} + a \cdot d^2 \quad\Longrightarrow\quad d^2 \;=\; \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}.

Esta es la fórmula de Apolonio para la mediana desde $A$ . Las medianas $m_a, m_b, m_c$ cumplen:

m_a^2 \;=\; \tfrac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}, \qquad m_b^2 \;=\; \tfrac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4}, \qquad m_c^2 \;=\; \tfrac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}.

Ejemplo 2 (bisectriz interior). Por el teorema de la bisectriz, si $AD$ es bisectriz de $A$ con $D \in BC$ , entonces $m/n = c/b$ , así que $m = ac/(b+c)$ y $n = ab/(b+c)$ . Sustituyendo en Stewart:

b^2 \cdot \tfrac{ac}{b+c} + c^2 \cdot \tfrac{ab}{b+c} \;=\; a \cdot d^2 + a \cdot \tfrac{ac \cdot ab}{(b+c)^2}.

Dividiendo por $a$ y simplificando:

\frac{bc(b + c)}{b + c} \;=\; d^2 + \frac{a^2 bc}{(b+c)^2} \quad\Longrightarrow\quad d^2 \;=\; bc - \frac{a^2 bc}{(b+c)^2} \;=\; bc\left(1 - \frac{a^2}{(b+c)^2}\right).

Factorizando:

d^2 \;=\; \frac{bc[(b+c)^2 - a^2]}{(b+c)^2} \;=\; \frac{bc(b+c-a)(b+c+a)}{(b+c)^2}.

Usando que $2s = a+b+c$ :

\boxed{\,d^2 \;=\; \frac{4 bc \, s(s - a)}{(b+c)^2}.\,}

Esta es la fórmula de la longitud de la bisectriz, indispensable cuando aparecen bisectrices con longitudes específicas en problemas olímpicos.

Observación

Mnemónica de Stewart: "ba-me-ca-ne-decide", a lo que se añade $mn$ . La fórmula

b^2 m + c^2 n \;=\; a(d^2 + mn)

a veces se memoriza en la versión simétrica de van Aubel:

b^2 m + c^2 n \;=\; a \cdot d^2 + amn.

Aún más mnemónica: "hombre nuevo, nueva mujer, da niño" (un asno antiguo). En cualquier caso, conviene deducirla rápidamente del teorema del coseno en lugar de memorizarla.

Aplicaciones

Aplicación 1: cálculos métricos en olimpiada

Cualquier problema donde aparece una ceviana cuya longitud necesita calcularse: Stewart es la primera técnica a probar. Es directo, rápido y no requiere ingenio geométrico.

Aplicación 2: identidades del triángulo

Combinando Stewart con identidades como $m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3}{4}(a^2 + b^2 + c^2)$ (sumando las tres fórmulas de Apolonio), se obtienen relaciones útiles entre las longitudes del triángulo.

Aplicación 3: localización de puntos

Para verificar si un punto $D$ está sobre la bisectriz desde $A$ , basta comprobar si $d^2$ coincide con la fórmula derivada arriba. Esto convierte una pregunta cualitativa (¿está en la bisectriz?) en una verificación numérica.

Problemas relacionados

Fórmula del incentro: $|AI|^2 = bc \left(1 - \frac{a^2}{(b+c)^2}\right)$ , derivable de la fórmula de la bisectriz combinada con la división del incentro $AI:ID = (b+c):a$ .
Punto de Gergonne, Nagel: sus distancias a los vértices se obtienen aplicando Stewart a las cevianas correspondientes.
Teorema de Routh: generalización que cuantifica el área del triángulo formado por tres cevianas cualesquiera.