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Teorema de Ptolomeo y su forma generalizada

En un cuadrilátero cíclico, el producto de las diagonales iguala a la suma de los productos de los lados opuestos. Una identidad métrica fundamental.

DificultadNacional
Etiquetascuadrilatero-ciclicolongitudesidentidad-metrica
Requisitosangulos-inscritossemejanza
AutorAdrián García Bouzas
Actualizado2026-01-11

El Teorema de Ptolomeo es uno de los resultados clásicos de la geometría sintética. Ya conocido por los astrónomos alejandrinos, conecta las longitudes de los lados y las diagonales de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia.

Enunciado

Sea ABCDABCD un cuadrilátero cíclico. Entonces

AC⋅BD=AB⋅CD+AD⋅BC.AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC.

Desigualdad de Ptolomeo (forma generalizada). Para cualesquiera cuatro puntos A,B,C,DA, B, C, D del plano,

AC⋅BD≤AB⋅CD+AD⋅BC,AC \cdot BD \leq AB \cdot CD + AD \cdot BC,

con igualdad si y sólo si ABCDABCD es un cuadrilátero cíclico convexo (en el orden indicado).

Demostración

Método clásico (Ptolomeo). Sea EE un punto sobre la diagonal BDBD tal que ∠BAE=∠CAD\angle BAE = \angle CAD. Como ∠ABE=∠ABD=∠ACD\angle ABE = \angle ABD = \angle ACD (ángulos inscritos sobre el arco ADAD), los triángulos ABEABE y ACDACD son semejantes:

BECD=ABAC  ⟹  BE⋅AC=AB⋅CD.\frac{BE}{CD} = \frac{AB}{AC} \implies BE \cdot AC = AB \cdot CD.

Por otro lado, los triángulos ABCABC y AEDAED también son semejantes (compárense ángulos), de donde

EDBC=ADAC  ⟹  ED⋅AC=AD⋅BC.\frac{ED}{BC} = \frac{AD}{AC} \implies ED \cdot AC = AD \cdot BC.

Sumando ambas igualdades:

(BE+ED)⋅AC=AB⋅CD+AD⋅BC.(BE + ED) \cdot AC = AB \cdot CD + AD \cdot BC.

Pero BE+ED=BDBE + ED = BD, de donde se concluye BD⋅AC=AB⋅CD+AD⋅BCBD \cdot AC = AB \cdot CD + AD \cdot BC. □\square

Método por inversión. Sea ι\iota la inversión centrada en AA con radio arbitrario rr. Esta transforma los puntos B,C,DB, C, D en B′,C′,D′B', C', D' con AX⋅AX′=r2AX \cdot AX' = r^2. La fórmula de distancia bajo inversión:

X′Y′=r2⋅XYAX⋅AY.X'Y' = \frac{r^2 \cdot XY}{AX \cdot AY}.

Como A,B,C,DA, B, C, D son concíclicos, sus imágenes B′,C′,D′B', C', D' son colineales (la circunferencia por AA se transforma en recta). Por lo tanto B′D′=B′C′+C′D′B'D' = B'C' + C'D', y sustituyendo:

r2⋅BDAB⋅AD=r2⋅BCAB⋅AC+r2⋅CDAC⋅AD.\frac{r^2 \cdot BD}{AB \cdot AD} = \frac{r^2 \cdot BC}{AB \cdot AC} + \frac{r^2 \cdot CD}{AC \cdot AD}.

Multiplicando por AB⋅AC⋅ADr2\frac{AB \cdot AC \cdot AD}{r^2}:

BD⋅AC=BC⋅AD+CD⋅AB.□BD \cdot AC = BC \cdot AD + CD \cdot AB. \qquad \square

La inversión también prueba inmediatamente la desigualdad de Ptolomeo: para cuatro puntos cualesquiera, B′,C′,D′B', C', D' son tres puntos del plano, y se cumple B′D′≤B′C′+C′D′B'D' \leq B'C' + C'D' por la desigualdad triangular, con igualdad si y sólo si son colineales en el orden correcto, lo que ocurre exactamente cuando A,B,C,DA, B, C, D son concíclicos en el orden A,B,C,DA, B, C, D.

Ejemplo

Problema. Si ABCABC es un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia ω\omega y PP es un punto del arco BCBC que no contiene a AA, probar que PA=PB+PCPA = PB + PC.

Solución. Aplicamos Ptolomeo al cuadrilátero cíclico ABPCABPC:

PA⋅BC=PB⋅AC+PC⋅AB.PA \cdot BC = PB \cdot AC + PC \cdot AB.

Como ABCABC es equilátero, AB=BC=CAAB = BC = CA, y la igualdad se reduce a PA=PB+PCPA = PB + PC. □\square

Observación

Ptolomeo se puede ver como el caso de igualdad de una desigualdad más general. La desigualdad de Ptolomeo extendida afirma que para cualesquiera puntos en el plano, AC⋅BD≤AB⋅CD+AD⋅BCAC \cdot BD \leq AB \cdot CD + AD \cdot BC, con igualdad si y sólo si los puntos son concíclicos en orden convexo.

Esta caracterización es bidireccional y se usa con frecuencia para probar que cuatro puntos son cíclicos sin trabajar con ángulos.

Aplicaciones
  • Demostrar identidades métricas entre las distancias de puntos sobre una circunferencia.
  • Probar concyclicidad usando longitudes.
  • Generar identidades trigonométricas: aplicando Ptolomeo a un cuadrilátero inscrito en una circunferencia unitaria y usando la ley del seno, se obtienen identidades como
sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β.\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta.
Problemas relacionados
  • (IMO 1991, P5) En un triángulo ABCABC, sean P,Q,RP, Q, R puntos sobre BC,CA,ABBC, CA, AB respectivamente. Probar una desigualdad métrica usando Ptolomeo.
  • Si ABCDABCD es un cuadrilátero cíclico con AB=a,BC=b,CD=c,DA=dAB = a, BC = b, CD = c, DA = d, hallar la longitud de la diagonal ACAC en función de a,b,c,da, b, c, d.