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Trigonometría del triángulo: ley de senos, cosenos e identidades

Las leyes fundamentales que relacionan lados y ángulos de un triángulo, más una colección de identidades que aparecen sistemáticamente en problemas olímpicos. Indispensable para geometría calculada.

DificultadRegional
Etiquetastrigonometrialey-senosley-cosenosidentidades
Requisitossemejanza
AutorAdrián García Bouzas
Actualizado2026-02-13
Notación estándar

En un triángulo ABCABC, denotamos:

  • a=∣BC∣,b=∣CA∣,c=∣AB∣a = |BC|, b = |CA|, c = |AB| (lados opuestos a los vértices).
  • A,B,CA, B, C los ángulos en los vértices, con A+B+C=πA + B + C = \pi.
  • s=(a+b+c)/2s = (a+b+c)/2 semiperímetro.
  • RR circunradio, rr inradio.
  • [ABC][ABC] el área.
Ley de senos
asin⁡A  =  bsin⁡B  =  csin⁡C  =  2R.\frac{a}{\sin A} \;=\; \frac{b}{\sin B} \;=\; \frac{c}{\sin C} \;=\; 2R.

Demostración. Consideramos la altura desde AA al lado BCBC: tiene longitud bsin⁡C=csin⁡Bb \sin C = c \sin B. Por tanto b/sin⁡B=c/sin⁡Cb/\sin B = c/\sin C. La igualdad con 2R2R se sigue del teorema del ángulo inscrito: la cuerda aa subtiende un ángulo AA en el vértice opuesto, así que el ángulo central es 2A2A, y a=2Rsin⁡Aa = 2R \sin A. ■\blacksquare

Ley de cosenos
c2  =  a2+b2−2abcos⁡C.c^2 \;=\; a^2 + b^2 - 2ab \cos C.

(y las dos identidades simétricas obvias).

Demostración. Colocamos el triángulo en coordenadas con CC en el origen, BB sobre el eje xx, AA en posición arbitraria. Calculamos ∣AB∣2|AB|^2 por la fórmula de distancia y simplificamos. ■\blacksquare

Caso particular. Si C=π/2C = \pi/2 (triángulo rectángulo), cos⁡C=0\cos C = 0, recuperamos Pitágoras: c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2.

Fórmulas del área
[ABC]  =  12absin⁡C  =  12bcsin⁡A  =  12casin⁡B.[ABC] \;=\; \frac{1}{2}ab \sin C \;=\; \frac{1}{2}bc \sin A \;=\; \frac{1}{2}ca \sin B.

Por circunradio:

[ABC]  =  abc4R.[ABC] \;=\; \frac{abc}{4R}.

Por inradio:

[ABC]  =  rs.[ABC] \;=\; r s.

Fórmula de Herón:

[ABC]  =  s(s−a)(s−b)(s−c).[ABC] \;=\; \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.
Tangentes y cotangentes

Ley de tangentes:

a+ba−b  =  tan⁡A+B2tan⁡A−B2.\frac{a + b}{a - b} \;=\; \frac{\tan\tfrac{A+B}{2}}{\tan\tfrac{A-B}{2}}.

Cotangentes y área:

cot⁡A+cot⁡B+cot⁡C  =  a2+b2+c24[ABC].\cot A + \cot B + \cot C \;=\; \frac{a^2 + b^2 + c^2}{4 [ABC]}.
Identidades específicas

Para todo triángulo (consecuencia de A+B+C=πA + B + C = \pi):

Suma de cosenos:

cos⁡A+cos⁡B+cos⁡C  =  1+rR.\cos A + \cos B + \cos C \;=\; 1 + \frac{r}{R}.

Suma de cuadrados de senos:

sin⁡2A+sin⁡2B+sin⁡2C  =  2+2cos⁡Acos⁡Bcos⁡C.\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C \;=\; 2 + 2\cos A \cos B \cos C.

Producto de cosenos:

cos⁡Acos⁡Bcos⁡C  ≤  18,\cos A \cos B \cos C \;\leq\; \frac{1}{8},

con igualdad sii equilátero. Esta cota es la base de muchas desigualdades trigonométricas.

Tangente:

tan⁡A+tan⁡B+tan⁡C  =  tan⁡Atan⁡Btan⁡C(si los tres aˊngulos estaˊn definidos).\tan A + \tan B + \tan C \;=\; \tan A \tan B \tan C \quad (\text{si los tres ángulos están definidos}).

Esta identidad define el ortocentro: cuando HH está dentro del triángulo, tan⁡A+tan⁡B+tan⁡C>0\tan A + \tan B + \tan C > 0.

Ángulos mitad

Las fórmulas de ángulos mitad son cruciales para fórmulas que involucran rr y RR:

sin⁡A2  =  (s−b)(s−c)bc,cos⁡A2  =  s(s−a)bc,\sin\frac{A}{2} \;=\; \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}, \quad \cos\frac{A}{2} \;=\; \sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}, tan⁡A2  =  (s−b)(s−c)s(s−a)  =  rs−a.\tan\frac{A}{2} \;=\; \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}} \;=\; \frac{r}{s-a}.
Distancias entre puntos notables

Combinando las fórmulas:

OIOI (fórmula de Euler):

∣OI∣2  =  R2−2Rr.|OI|^2 \;=\; R^2 - 2Rr.

OHOH:

∣OH∣2  =  R2−8R2cos⁡Acos⁡Bcos⁡C.|OH|^2 \;=\; R^2 - 8R^2 \cos A \cos B \cos C.

IHIH (Feuerbach):

∣IH∣2  =  2r2−4R2cos⁡Acos⁡Bcos⁡C.|IH|^2 \;=\; 2r^2 - 4R^2 \cos A \cos B \cos C.
Aplicaciones

Aplicación 1: resolver triángulos

Problema típico. Dados a=7a = 7, b=8b = 8, C=60°C = 60°, hallar c,A,Bc, A, B.

Por la ley de cosenos: c2=49+64−2⋅7⋅8⋅12=113−56=57c^2 = 49 + 64 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \tfrac{1}{2} = 113 - 56 = 57. Así c=57≈7.55c = \sqrt{57} \approx 7.55.

Por la ley de senos: sin⁡A/7=sin⁡60°/57\sin A / 7 = \sin 60° / \sqrt{57}, así sin⁡A=73/(257)\sin A = 7\sqrt 3 / (2\sqrt{57}), etc.

Aplicación 2: identidades olímpicas

OMG 2017. En un triángulo ABCABC, demostrar que sin⁡2A+sin⁡2B+sin⁡2C≤9/4\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C \leq 9/4, con igualdad sii equilátero.

Solución. Usar la identidad sin⁡2A+sin⁡2B+sin⁡2C=2+2cos⁡Acos⁡Bcos⁡C\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = 2 + 2\cos A \cos B \cos C y el hecho cos⁡Acos⁡Bcos⁡C≤1/8\cos A \cos B \cos C \leq 1/8.

Aplicación 3: identificar triángulos especiales

Triángulo rectángulo: a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2, sin⁡C=1\sin C = 1.

Triángulo equilátero: a=b=ca = b = c, A=B=C=π/3A = B = C = \pi/3, r=R/2r = R/2, ∣OI∣=0|OI| = 0.

Triángulo isósceles: dos lados iguales y dos ángulos iguales.

Aplicación 4: desigualdades

OME 2013. Demostrar que en todo triángulo, cot⁡Acot⁡B+cot⁡Bcot⁡C+cot⁡Ccot⁡A=1\cot A \cot B + \cot B \cot C + \cot C \cot A = 1.

Solución. Usar A+B+C=πA + B + C = \pi y manipulaciones con tan⁡\tan. Es una identidad exacta, no desigualdad — pero requiere conocer las identidades trigonométricas.

Observación

Cuándo usar trigonometría.

  • ✅ Hay ángulos específicos dados (no relaciones puras).
  • ✅ Se piden longitudes explícitas.
  • ✅ El problema tiene suficiente simetría para reducir bien con identidades.
  • ❌ El problema es puramente sintético (mejor con ángulos directamente).
  • ❌ Aparecen muchas configuraciones cíclicas (usar ángulos inscritos).

La trigonometría es una bala de plata cuando todo lo demás falla, pero es a menudo más larga que un argumento sintético elegante.

Problemas relacionados
  • IMO 2013/4. Configuración de triángulos relacionados — resuelto elegantemente con ley de senos.
  • OME 2020. Una desigualdad geométrica donde la trigonometría reduce el problema a una desigualdad sobre senos y cosenos.
  • Identidad de los productos: sin⁡Asin⁡Bsin⁡C=\sin A \sin B \sin C = función de r/Rr/R.