Olimpiada Matemática — Adrián García Bouzas

Teorema

Sean $ABC$ un triángulo y $X \in BC$ , $Y \in CA$ , $Z \in AB$ tres puntos. Las perpendiculares a los lados levantadas en $X, Y, Z$ son concurrentes si y solo si

|BX|^2 - |XC|^2 \;+\; |CY|^2 - |YA|^2 \;+\; |AZ|^2 - |ZB|^2 \;=\; 0.

(Aquí, las longitudes están medidas con signo, y la condición se puede reescribir como una identidad de diferencias de cuadrados.)

Demostración

(⇒) Supongamos que las tres perpendiculares concurren en un punto $P$ . Por el teorema de Pitágoras aplicado a $\triangle PXB$ y $\triangle PXC$ (rectos en $X$ ):

|PB|^2 \;=\; |PX|^2 + |XB|^2, \qquad |PC|^2 \;=\; |PX|^2 + |XC|^2.

Restando:

|PB|^2 - |PC|^2 \;=\; |XB|^2 - |XC|^2.

Análogamente $|PC|^2 - |PA|^2 = |YC|^2 - |YA|^2$ y $|PA|^2 - |PB|^2 = |ZA|^2 - |ZB|^2$ .

Sumando las tres:

0 \;=\; (|XB|^2 - |XC|^2) + (|YC|^2 - |YA|^2) + (|ZA|^2 - |ZB|^2). \quad \checkmark

(⇐) Sean las dos primeras perpendiculares (en $X$ e $Y$ ): se cortan en un punto $P$ . Por el cálculo anterior aplicado a $X, Y$ :

|PB|^2 - |PA|^2 \;=\; (|XB|^2 - |XC|^2) + (|YC|^2 - |YA|^2).

Por la hipótesis del teorema, esto es igual a $-(|AZ|^2 - |ZB|^2) = |ZB|^2 - |AZ|^2$ .

Por tanto, $|PB|^2 - |PA|^2 = |ZB|^2 - |ZA|^2$ . Pero esta condición caracteriza que la perpendicular a $AB$ por $Z$ pasa por $P$ (porque cualquier punto $Q$ sobre tal perpendicular satisface $|QB|^2 - |QA|^2 = |ZB|^2 - |ZA|^2$ ).

Conclusión: las tres perpendiculares concurren en $P$ . $\blacksquare$

Forma trigonométrica

Hay una versión usando ángulos. Para perpendiculares desde los vértices que cortan los lados opuestos:

Si $X =$ pie de la perpendicular desde $A$ , $Y =$ desde $B$ , $Z =$ desde $C$ (en este caso son las alturas), entonces siempre concurren (en el ortocentro). Carnot generaliza a perpendiculares arbitrarias.

Casos particulares

Caso 1: alturas

Las alturas son perpendiculares a los lados desde puntos especiales (los pies, en los lados). Verificación: con $X, Y, Z$ los pies de las alturas, la identidad de Carnot se cumple automáticamente, lo que da la existencia del ortocentro como aplicación inmediata.

Caso 2: mediatrices

Las mediatrices son perpendiculares a los lados por los puntos medios. Si $X, Y, Z$ son los puntos medios:

(|BX|^2 - |XC|^2) + (|CY|^2 - |YA|^2) + (|AZ|^2 - |ZB|^2) \;=\; 0 + 0 + 0 \;=\; 0.

(Cada término se anula por la definición de punto medio.) Por Carnot, las mediatrices concurren — recuperando la existencia del circuncentro.

Caso 3: perpendiculares por puntos especiales

Lema (Stewart-Carnot). Sea $P$ un punto interior al triángulo. Las perpendiculares a los lados levantadas en los pies de las perpendiculares desde $P$ concurren (obviamente, en $P$ mismo). El interés está en perpendiculares levantadas en otros puntos.

Aplicaciones

Aplicación 1: el ortocentro como caso particular

La existencia del ortocentro es una consecuencia directa de Carnot. Las tres alturas son perpendiculares a los lados desde los pies (que son puntos específicos), y la identidad de Carnot se verifica.

Aplicación 2: el circuncentro como caso particular

Como se vio arriba, las mediatrices concurren por Carnot trivialmente.

Aplicación 3: configuraciones especiales

Problema típico. Demostrar que en cierta configuración (con puntos $X, Y, Z$ definidos por construcción geométrica), las perpendiculares concurren.

Estrategia. Calcular $|BX|^2 - |XC|^2$ usando datos del problema (potencias, semejanzas) y verificar la identidad de Carnot.

Aplicación 4: problemas olímpicos

OME 2013. Configuración con tres perpendiculares cuya concurrencia se demuestra vía Carnot.

IMO Shortlist 1996 G4. Problema con perpendiculares en puntos definidos por circunferencias auxiliares.

Observación

Cuándo aplicar Carnot.

✅ Aparecen tres rectas perpendiculares a los lados del triángulo en puntos específicos. ✅ Se piden propiedades de concurrencia sin ángulos en juego directo. ✅ Las distancias al cuadrado son accesibles (por potencias, Pitágoras, etc.).

❌ Si las rectas no son perpendiculares a los lados, considera Ceva (forma trigonométrica o estándar).

Carnot vs Ceva. Ambos teoremas son criterios de concurrencia, pero para tipos distintos de rectas:

Ceva: rectas desde los vértices a los lados opuestos (cevianas).
Carnot: rectas perpendiculares a los lados desde puntos en los lados.

Saber cuál aplicar es fundamental en problemas de concurrencia.

Problemas relacionados

OME 2013. Citado.
IMO 2003/4. Configuración con perpendiculares; aplicación indirecta.
Teorema de la mediatriz extendida: cualquier punto en la mediatriz de un segmento equidista de los extremos. Es la "versión local" de Carnot.
Generalización vectorial: la identidad de Carnot se expresa elegantemente con productos escalares y direcciones perpendiculares.