Olimpiada Matemática — Adrián García Bouzas

Definición

Sea $\omega$ una circunferencia con centro $O$ y radio $r$ . La potencia de un punto $P$ respecto a $\omega$ es

\operatorname{pot}_\omega(P) \;=\; |PO|^2 - r^2.

Es negativa si $P$ está dentro de $\omega$ , cero si está sobre $\omega$ , positiva si está fuera.

Equivalencias. Si una recta por $P$ corta a $\omega$ en $A, B$ , entonces $\operatorname{pot}_\omega(P) = \overline{PA} \cdot \overline{PB}$ (con signo). Si $PT$ es tangente desde $P$ con $T \in \omega$ , entonces $\operatorname{pot}_\omega(P) = |PT|^2$ .

Eje radical

Teorema. Dadas dos circunferencias $\omega_1, \omega_2$ no concéntricas, el lugar geométrico de los puntos $P$ con $\operatorname{pot}_{\omega_1}(P) = \operatorname{pot}_{\omega_2}(P)$ es una recta perpendicular a la línea de centros $O_1 O_2$ . Esta recta se llama eje radical de $\omega_1$ y $\omega_2$ .

Demostración

Sean $\omega_i$ definidas por $(x - x_i)^2 + (y - y_i)^2 = r_i^2$ , o equivalentemente $x^2 + y^2 - 2x_i x - 2y_i y + (x_i^2 + y_i^2 - r_i^2) = 0$ . La potencia de $P = (x, y)$ es

\operatorname{pot}_{\omega_i}(P) \;=\; x^2 + y^2 - 2x_i x - 2 y_i y + x_i^2 + y_i^2 - r_i^2.

Restando para $i = 1, 2$ , los términos $x^2 + y^2$ se cancelan:

\operatorname{pot}_{\omega_1}(P) - \operatorname{pot}_{\omega_2}(P) \;=\; -2(x_1 - x_2) x - 2(y_1 - y_2) y + \text{const}.

Es una ecuación lineal en $(x, y)$ , así que define una recta. El vector dirección de la recta perpendicular es $(x_1 - x_2, y_1 - y_2) = O_1 - O_2$ . Como queremos $\operatorname{pot}_1 = \operatorname{pot}_2$ , la recta está orientada perpendicular a $O_1 O_2$ . $\blacksquare$

Posiciones del eje radical

Según la posición relativa de las dos circunferencias:

Circunferencias secantes: el eje radical es la recta que pasa por los dos puntos de intersección.
Circunferencias tangentes: el eje radical es la tangente común en el punto de tangencia.
Circunferencias disjuntas: el eje radical es una recta exterior a ambas, equidistante en cierto sentido.
Una circunferencia interior a otra (no tangentes): el eje radical no corta a ninguna de las dos.

Centro radical

Teorema. Dadas tres circunferencias $\omega_1, \omega_2, \omega_3$ cuyos centros no son colineales, los tres ejes radicales (de cada par) son concurrentes en un único punto, llamado centro radical de las tres.

Demostración

Sea $P$ la intersección del eje radical de $\omega_1, \omega_2$ con el eje radical de $\omega_2, \omega_3$ (que existe, porque los centros no son colineales, así que los ejes no son paralelos).

En $P$ : $\operatorname{pot}_{\omega_1}(P) = \operatorname{pot}_{\omega_2}(P)$ (por estar en el eje $1$ - $2$ ) y $\operatorname{pot}_{\omega_2}(P) = \operatorname{pot}_{\omega_3}(P)$ (por estar en el eje $2$ - $3$ ).

Por transitividad: $\operatorname{pot}_{\omega_1}(P) = \operatorname{pot}_{\omega_3}(P)$ , es decir, $P$ está también en el eje radical de $\omega_1, \omega_3$ . $\blacksquare$

Ejemplo

Ejemplo (clásico). Sean $\omega_1, \omega_2, \omega_3$ circunferencias tangentes entre sí dos a dos en puntos distintos. Demostrar que las tres tangentes comunes en los puntos de tangencia son concurrentes.

Solución. Cada par $\omega_i, \omega_j$ tiene tangente común en su punto de tangencia, que es precisamente su eje radical. Por el teorema del centro radical, las tres tangentes concurren. $\blacksquare$

Aplicaciones

Aplicación 1: existencia del punto de Apolonio

Problema. Dadas tres circunferencias no concéntricas, ¿existe un punto $P$ con potencia igual respecto a las tres? Sí: el centro radical.

Si las tres son disjuntas y el centro radical $P$ está fuera, $\operatorname{pot}(P) > 0$ y $\sqrt{\operatorname{pot}(P)}$ es la longitud común de las tangentes desde $P$ a las tres circunferencias. La circunferencia centrada en $P$ con ese radio es ortogonal a las tres.

Aplicación 2: detectar concíclicos

Lema. Cuatro puntos $A, B, C, D$ son concíclicos si y solo si para cualesquiera dos puntos $X, Y$ sobre las rectas $AB$ y $CD$ respectivamente (con $X = AB \cap CD$ si es el caso), $\operatorname{pot}_\Omega(X) \cdot$ ... — más útil: usar el inverso del teorema de la potencia caracterizando cuadriláteros cíclicos.

Aplicación 3: construcciones con regla y compás

El eje radical permite construir, dadas dos circunferencias y un punto exterior, la tangente común sin trazar las circunferencias auxiliares de bisección.

Aplicación 4: configuraciones tangentes

En problemas con muchas circunferencias tangentes, el centro radical de tríos suele ser un punto distinguido del problema. Ejemplo: en una cadena de circunferencias mutuamente tangentes alrededor de una circunferencia base, los centros radicales sucesivos colapsan en el centro de la circunferencia base.

Aplicación 5: problemas olímpicos

OME 2014. Sean $\omega_1, \omega_2, \omega_3$ tres circunferencias con un punto común $P$ . Demostrar que las tres rectas $\ell_{ij}$ , cada una uniendo los otros dos puntos de intersección de $\omega_i$ y $\omega_j$ (distintos de $P$ ), son concurrentes.

Esquema. Las rectas $\ell_{ij}$ son precisamente los ejes radicales de las parejas $(\omega_i, \omega_j)$ . Por el teorema, concurren en el centro radical. $\blacksquare$

Observación

Una visión unificada. El conjunto de "circunferencias generalizadas en el plano" (circunferencias y rectas, las rectas son circunferencias de radio infinito) tiene una estructura algebraica natural — el plano radical, sobre el que el eje radical es una operación elemental.

Esto se conecta con la geometría conforme: la inversión preserva ejes radicales (porque preserva potencias salvo escala uniforme). En el lenguaje de Möbius, los ejes radicales son geodésicas en cierto modelo.

Problemas relacionados

OMG 2014 (regional). Tres circunferencias tienen un punto común y demuestran que ciertas rectas concurren. (Aplicación directa de centro radical.)
Teorema de Coaxal: una familia de circunferencias que comparten todas un eje radical común se llama familia coaxal. Aparece en problemas de tangencia múltiple.
IMO 2014/3. Configuración compleja resuelta elegantemente identificando un centro radical no obvio.