Punto de Fermat-Torricelli y optimización geométrica

Problema (Fermat, ~1640). Dados tres puntos $A, B, C$ en el plano, hallar el punto $P$ que minimiza la suma de distancias

Caso 1: todos los ángulos del triángulo $ABC$ son menores que $120°$.

El punto óptimo $T$ es el punto de Fermat-Torricelli, caracterizado por

Equivalentemente, $T$ es el único punto del plano desde el cual los tres lados del triángulo $ABC$ se ven bajo ángulos iguales.

Caso 2: algún ángulo del triángulo $ABC$ es $\geq 120°$ (digamos en $A$).

El punto óptimo es el vértice $A$ mismo. (El "mínimo" se alcanza degenerado.)

Sobre cada lado del triángulo, levantamos hacia el exterior un triángulo equilátero. Sean $A', B', C'$ los nuevos vértices (opuestos al lado base).

Teorema. Las tres rectas $AA', BB', CC'$ son concurrentes en un punto $T$, que es el punto de Fermat-Torricelli (cuando los ángulos del triángulo son $< 120°$).

Más aún:

• $|AA'| = |BB'| = |CC'| = |TA| + |TB| + |TC|$. (Estas tres rectas tienen la misma longitud, que coincide con la suma mínima de distancias).
• Las circunferencias circunscritas a los tres triángulos equiláteros pasan todas por $T$.

Estrategia: rotación.

Rotamos el plano $60°$ alrededor de $A$. Bajo esta rotación, $B$ se transforma en cierto punto $B'$ (que es el tercer vértice del triángulo equilátero $\triangle ABB'$ levantado al exterior sobre $AB$).

Cualquier punto $P$ se transforma en $P'$, con $|AP| = |AP'|$ y $\angle PAP' = 60°$. Por tanto, $\triangle APP'$ es equilátero, y $|PP'| = |AP|$.

Ahora consideremos la cadena $C \to P \to P' \to B'$. Su longitud total es

(Porque $|PP'| = |PA|$ y $|P'B'| = |PB|$ por la rotación que envía $B \to B'$ y $P \to P'$ conservando distancias.)

La cadena $C \to P \to P' \to B'$ es siempre $\geq |CB'|$ (desigualdad poligonal), con igualdad sii la cadena es una recta. Es decir, sii $C, P, P', B'$ son colineales en este orden.

La condición de colinealidad da:

• $P$ está sobre la recta $CB'$,
• $\angle CPA = 180° - 60° = 120°$ (porque $\angle APP' = 60°$),
• $\angle APB = 120°$ (por simetría análoga).

Por tanto el mínimo se alcanza cuando $\angle APB = \angle APC = 120°$ y $P$ está sobre las tres rectas $AA', BB', CC'$. Ahí $f(P) = |CB'| = |AA'| =$ longitud mínima. $\blacksquare$

Aunque no hay una expresión cerrada sencilla en términos de $a, b, c$ para las coordenadas del punto de Fermat, sí hay para el valor mínimo:

(Donde $[ABC]$ es el área del triángulo.)

El problema de Weber (centro de masas ponderado)

Sea $f(P) = w_1 |PA_1| + w_2 |PA_2| + \cdots + w_n |PA_n|$ con $w_i > 0$. El punto $P^*$ que minimiza $f$ se llama el punto de Weber o centro de masas geométrico y no tiene en general una expresión cerrada — solo existe un algoritmo iterativo (Weiszfeld).

El caso $n = 3$, $w_i = 1$ es Fermat-Torricelli.

El problema de Steiner

Dado un conjunto finito de puntos, encontrar la red de Steiner que los conecte minimizando longitud total. Para tres puntos, se reduce a Fermat-Torricelli; para más, los puntos auxiliares de Steiner (con tres aristas a $120°$) son óptimos locales.

Geodésicas en superficies

En geometrías no euclídeas, el punto análogo de Fermat se define usando longitudes geodésicas. Cuestiones de existencia y unicidad se vuelven sutiles.