Olimpiada Matemática — Adrián García Bouzas

Punto de Gergonne

Definición. Sea $ABC$ un triángulo con incírculo $\omega$ tangente a los lados $BC, CA, AB$ en los puntos $D, E, F$ respectivamente. Las tres cevianas $AD, BE, CF$ son concurrentes, y su punto de intersección se llama el punto de Gergonne $G_e$ del triángulo.

Punto de Nagel

Definición. Sea $\omega_A$ el excírculo opuesto a $A$ , tangente al lado $BC$ en $D'$ . Análogamente $E'$ ( $\omega_B$ tangente a $CA$ ) y $F'$ ( $\omega_C$ tangente a $AB$ ). Las cevianas $AD', BE', CF'$ son concurrentes, y su punto de intersección se llama el punto de Nagel $N$ del triángulo.

Demostración de la concurrencia

Gergonne

Sea $s = (a+b+c)/2$ . Los puntos de tangencia del incírculo dividen los lados en segmentos con longitudes:

|BD| \;=\; s - b, \quad |DC| \;=\; s - c,

|CE| \;=\; s - c, \quad |EA| \;=\; s - a,

|AF| \;=\; s - a, \quad |FB| \;=\; s - b.

Aplicamos el teorema de Ceva a las cevianas $AD, BE, CF$ :

\frac{|BD|}{|DC|} \cdot \frac{|CE|}{|EA|} \cdot \frac{|AF|}{|FB|} \;=\; \frac{s-b}{s-c} \cdot \frac{s-c}{s-a} \cdot \frac{s-a}{s-b} \;=\; 1.

Por Ceva, las cevianas concurren. $\blacksquare$

Nagel

Para el excírculo $\omega_A$ , las distancias a los puntos de tangencia son:

|BD'| \;=\; s - c, \quad |D'C| \;=\; s - b.

Es decir, $D'$ y $D$ son simétricos respecto al punto medio de $BC$ . Análogamente $E', F'$ .

Por Ceva con estas razones invertidas:

\frac{|BD'|}{|D'C|} \cdot \frac{|CE'|}{|E'A|} \cdot \frac{|AF'|}{|F'B|} \;=\; \frac{s-c}{s-b} \cdot \frac{s-a}{s-c} \cdot \frac{s-b}{s-a} \;=\; 1.

Concurren. $\blacksquare$

Relaciones notables

Conjugación isotómica

Los puntos $D$ y $D'$ son simétricos respecto al punto medio de $BC$ (ambos a distancia $s-b, s-c$ del par $B, C$ , en orden opuesto). Las cevianas $AD$ y $AD'$ son isotómicas (la una es la reflexión de la otra respecto a la mediana desde $A$ ).

Por tanto:

Gergonne y Nagel son conjugados isotómicos.

Relación con incentro

El punto de Nagel $N$ tiene una propiedad notable:

\vec{GN} \;=\; 2 \vec{GI},

donde $G$ es el baricentro e $I$ el incentro. Equivalentemente, $G, I, N$ son colineales con $I$ dividiendo $GN$ en razón $1:2$ desde $G$ . Esta línea se llama la recta de Nagel.

Coordenadas baricéntricas

G_e \;=\; \left(\frac{1}{s-a} : \frac{1}{s-b} : \frac{1}{s-c}\right),

N \;=\; (s-a : s-b : s-c).

(Hay que ajustar signos en caso de coordenadas no normalizadas, pero la estructura es ésta.)

Vinculación con Brianchon

Observación crucial. Las cevianas $AD, BE, CF$ son las diagonales del hexágono " $ABC$ con tangencia interna" si pensamos el triángulo como hexágono circunscrito al incírculo. Por el teorema de Brianchon, las diagonales concurren. Así Gergonne es un caso particular del teorema de Brianchon.

Análogamente, las cevianas del punto de Nagel corresponden al hexágono del triángulo circunscrito al excírculo. Brianchon de nuevo.

Aplicaciones

Aplicación 1: cálculos de área

Lema. El área de los triángulos $\triangle BDG_e, \triangle CEG_e, \triangle AFG_e$ son proporcionales a $\frac{1}{(s-a)(s-b)}, \frac{1}{(s-b)(s-c)}, \frac{1}{(s-c)(s-a)}$ respectivamente.

Esto permite cálculos de área en problemas que involucran las cevianas del incírculo.

Aplicación 2: problemas olímpicos

OMG 2018. Aplicación de la conjugación isotómica de Gergonne/Nagel.

OME 2010. Problema sobre la recta de Nagel.

IMO Shortlist 2007 G2. Configuración resoluble vía las tangencias del excírculo.

Aplicación 3: razón de Nagel

Una identidad elegante:

\frac{|AN|}{|N D'|} \;=\; \frac{s}{s - a}.

Esto da una razón explícita de división.

Aplicación 4: caracterización

Problema típico. Demostrar que las tres cevianas a los puntos de tangencia del incírculo dividen el triángulo en seis regiones cuyas áreas tienen razones específicas.

Vía Gergonne. Calcular las áreas directamente usando las razones $s-a, s-b, s-c$ .

Observación

Gergonne y Nagel: una pareja conjugada. Aparecen siempre juntos en la literatura por su dualidad isotómica. Cuando un problema menciona uno, considera el otro.

Tres puntos relacionados clave.

Punto	Cevianas	Punto de tangencia
Gergonne $G_e$	Vértices a tangentes del incírculo	$D, E, F$ del incírculo
Nagel $N$	Vértices a tangentes de los excírculos opuestos	$D', E', F'$ de los excírculos
Baricentro $G$	Vértices a los puntos medios	$M_a, M_b, M_c$

El baricentro es el "intermedio" entre Gergonne y Nagel en cierto sentido (ambos lo tienen como conjugado isotómico solo si el triángulo es equilátero).

No confundir $N$ (Nagel) con $N$ (centro de los nueve puntos). Notación coincidente, contextos distintos.

Problemas relacionados

OME 2010. Recta de Nagel.
OMG 2018. Configuración con punto de Gergonne.
Teorema del punto de Mittenpunkt: otro punto del triángulo relacionado con los excírculos.
Generalización a cuadriláteros: cuándo un cuadrilátero tiene un análogo de "punto de Gergonne" (involve un incírculo).