Olimpiada Matemática — Adrián García Bouzas

Definición

Sea $\omega$ una circunferencia de centro $O$ y radio $r$ , y sea $P \neq O$ un punto del plano. La polar de $P$ respecto a $\omega$ es la recta perpendicular a $OP$ que pasa por el punto $P^* =$ inverso de $P$ respecto a $\omega$ (es decir, sobre la semirrecta $OP$ con $|OP| \cdot |OP^*| = r^2$ ).

Recíprocamente, dada una recta $\ell$ que no pasa por $O$ , su polo es el único punto cuya polar es $\ell$ .

Caracterizaciones equivalentes

Sea $\omega$ con ecuación $x^2 + y^2 = r^2$ (centro en el origen). Para $P = (x_0, y_0)$ :

Polar de $P$ : $\;\; x_0 x + y_0 y = r^2.$

Tres caracterizaciones equivalentes:

Inverso + perpendicular: la recta perpendicular a $OP$ por el inverso de $P$ respecto a $\omega$ .
Tangentes (si $P$ exterior): si $P$ es exterior a $\omega$ y trazamos las dos tangentes a $\omega$ desde $P$ , tocando $\omega$ en $T_1, T_2$ , entonces la polar de $P$ es la recta $T_1 T_2$ .
Secantes (si $P$ exterior o interior): sean dos secantes cualesquiera por $P$ que cortan $\omega$ en $(A, A')$ y $(B, B')$ . Entonces las dos diagonales del cuadrilátero $AB'A'B$ cortan la polar de $P$ en sus extremos. Equivalentemente, la polar pasa por $AB \cap A'B'$ y $AB' \cap A'B$ .

Propiedades fundamentales

Reciprocidad (dualidad)

Teorema (reciprocidad polar). $Q$ está en la polar de $P$ si y solo si $P$ está en la polar de $Q$ .

Esta es la propiedad fundamental que justifica el nombre "dualidad". Permite traducir afirmaciones sobre puntos a afirmaciones sobre rectas y viceversa.

Demostración

Si $P = (x_0, y_0)$ y $Q = (x_1, y_1)$ , entonces $Q$ está en la polar de $P$ sii $x_0 x_1 + y_0 y_1 = r^2$ . Esta condición es simétrica en $P, Q$ . Por tanto, también equivale a " $P$ está en la polar de $Q$ ". $\blacksquare$

Consecuencias inmediatas

Si tres puntos $P, Q, R$ son colineales, sus polares son concurrentes.
Si tres rectas concurren, sus polos son colineales.

Esta es la dualidad punto-recta: "colineales" y "concurrentes" se intercambian.

Configuración del cuadrilátero autopolar

Teorema. Sean cuatro puntos $A, B, C, D$ sobre una circunferencia $\omega$ formando un cuadrilátero $ABCD$ . Sean:

$P = AB \cap CD$ ,
$Q = AD \cap BC$ ,
$R = AC \cap BD$ .

Estos tres puntos forman el triángulo diagonal del cuadrilátero. Entonces:

La polar de $P$ es la recta $QR$ .
La polar de $Q$ es la recta $PR$ .
La polar de $R$ es la recta $PQ$ .

Es decir, cada uno de los tres puntos diagonales es polo del lado opuesto del triángulo $PQR$ . Esta configuración se llama cuadrilátero autopolar.

Aplicaciones

Aplicación 1: concurrencia de cevianas en cónicas

Teorema (variante proyectiva). Sea $\omega$ una circunferencia y $A, B, C$ tres puntos en ella. Sea $P$ un punto. Las cevianas $AP, BP, CP$ cortan $\omega$ de nuevo en $A', B', C'$ . Entonces

AB \cap A'B', \quad BC \cap B'C', \quad CA \cap C'A'

son colineales. (Es el teorema de Pascal para hexágonos $AB'CA'BC'$ .)

La demostración con polos: las tres intersecciones están en la polar de $P$ .

Aplicación 2: construcción de tangentes

Problema: dadas una circunferencia $\omega$ y un punto exterior $P$ , construir las tangentes desde $P$ .

Solución: construye la polar de $P$ (por intersección de secantes). Los puntos donde la polar corta $\omega$ son exactamente los puntos de tangencia.

Aplicación 3: cuadriláteros cíclicos

Para un cuadrilátero $ABCD$ inscrito en $\omega$ y su triángulo diagonal $PQR$ :

$PQR$ es autopolar.
$R$ está sobre $\omega$ si y solo si $PQ$ es tangente a $\omega$ .

Aplicación 4: problemas olímpicos

ISL 2015/G6. Sea $ABC$ un triángulo con circuncírculo $\omega$ . Sea $P$ un punto interior. Cevianas $AP, BP, CP$ cortan $\omega$ de nuevo en $A_1, B_1, C_1$ . Demostrar que $B_1C_1, A_1C_1, A_1B_1$ y los lados de $ABC$ forman cierta configuración con propiedades especiales.

Solución con polos: las intersecciones relevantes están sobre la polar de $P$ .

OME 2016. Un problema clásico de cevianas concurrentes en circunferencias resuelto en dos líneas con la teoría de polos.

Generalización: cónicas

Toda la teoría se generaliza a cónicas (elipse, parábola, hipérbola): la polar de $P$ respecto a una cónica se define análogamente, y las propiedades de dualidad, autopolaridad, y reciprocidad valen sin cambios.

Para una cónica con ecuación $\sum a_{ij} x_i x_j = 0$ (forma cuadrática), la polar de $(x_0, y_0, z_0)$ en coordenadas homogéneas es

\sum a_{ij} x_i^{(0)} x_j \;=\; 0.

Esto inicia la geometría proyectiva: las cónicas son autoduales en el plano proyectivo.

Observación

Pensamiento por dualidad. Cuando un problema involucra muchos puntos y rectas en relación con una circunferencia, considera dualizar: convierte puntos en rectas y viceversa. Lo que era "estos tres puntos son colineales" se vuelve "estas tres rectas concurren". Frecuentemente la afirmación dual es obviamente cierta cuando la original es esquiva.

Esta técnica es un sello distintivo de las olimpiadas internacionales de nivel alto, especialmente desde 2010 en adelante.

Problemas relacionados

Teorema de Pascal: seis puntos en una cónica determinan tres intersecciones colineales.
Teorema de Brianchon (dual): seis tangentes a una cónica determinan tres diagonales concurrentes.
Teorema de Desargues: dos triángulos perspectivos centralmente lo son axialmente. Demostración elegante con polos respecto a una cónica auxiliar.