Olimpiada Matemática — Adrián García Bouzas

Teorema de Miquel (triángulo)

Sea $ABC$ un triángulo. Sean $X \in BC$ , $Y \in CA$ , $Z \in AB$ tres puntos (distintos de los vértices) sobre los lados (o sus prolongaciones). Sean:

$\omega_A =$ circuncírculo de $\triangle AYZ$ ,
$\omega_B =$ circuncírculo de $\triangle BZX$ ,
$\omega_C =$ circuncírculo de $\triangle CXY$ .

Entonces $\omega_A$ , $\omega_B$ , $\omega_C$ pasan por un punto común llamado el punto de Miquel de la tripleta $(X, Y, Z)$ .

Demostración

Sean $\omega_A$ y $\omega_B$ los dos primeros circuncírculos. Se cortan en $Z$ y en otro punto, llamémoslo $M$ .

Vamos a demostrar que $M$ está en $\omega_C$ .

Ángulos en $\omega_A$ (cíclico $AYZM$ ):

\angle MYA \;=\; \pi - \angle MZA \quad (\text{ángulos opuestos cíclicos}).

Ángulos en $\omega_B$ (cíclico $BZXM$ ):

\angle MZB \;=\; \pi - \angle MXB.

Como $\angle MZA + \angle MZB = \pi$ (forman un ángulo llano en $Z$ ):

\angle MZA \;=\; \pi - \angle MZB \;=\; \angle MXB.

Sustituyendo en la primera:

\angle MYA \;=\; \pi - \angle MXB.

Como $\angle MYA + \angle MYC = \pi$ y $\angle MXB + \angle MXC = \pi$ (cada par formando ángulo llano):

\angle MYC \;=\; \pi - \angle MYA \;=\; \angle MXB \;=\; \pi - \angle MXC.

Por tanto $\angle MYC + \angle MXC = \pi$ , así que $CYMX$ es cíclico, es decir, $M \in \omega_C$ . $\blacksquare$

Teorema de Miquel (cuadrilátero completo)

Configuración. Cuatro rectas en posición general definen un cuadrilátero completo: cuatro triángulos cuyos vértices son las intersecciones por pares.

Teorema. Los cuatro circuncírculos de los cuatro triángulos formados pasan por un mismo punto, el punto de Miquel del cuadrilátero completo.

Demostración

Sea las cuatro rectas $\ell_1, \ell_2, \ell_3, \ell_4$ y sus seis intersecciones $P_{ij} = \ell_i \cap \ell_j$ . Los cuatro triángulos son $T_i =$ los tres puntos $P_{jk}$ con $j, k \neq i$ .

Aplicamos el teorema de Miquel para tres rectas $\ell_2, \ell_3, \ell_4$ (con vértices $P_{23}, P_{24}, P_{34}$ ) y los puntos $X = P_{12} \in \ell_2 \cap \ell_1$ , $Y = P_{13}, Z = P_{14}$ : los tres circuncírculos $\omega_{P_{23}YZ}, \omega_{P_{24}ZX}, \omega_{P_{34}XY}$ concurren en un punto.

Estos circuncírculos son precisamente tres de los cuatro circuncírculos del cuadrilátero completo. Aplicando una vez más se completa la concurrencia. $\blacksquare$

Propiedades del punto de Miquel

1. Conexión con rotohomotecia. El punto de Miquel del cuadrilátero $P_1 P_2 P_3 P_4$ es el centro de la rotohomotecia que envía $P_1 P_2 \to P_4 P_3$ (y simultáneamente la que envía $P_1 P_4 \to P_2 P_3$ ).

2. Ubicación. El punto de Miquel está en una posición distinguida — generalmente interior al cuadrilátero si es convexo.

3. Generalización. Para un polígono cíclico $n$ -gono se generaliza con $n$ circuncírculos pasando por un único punto.

Aplicaciones

Aplicación 1: concurrencia de cevianas circulares

Cuando un problema presenta:

Un triángulo $ABC$ ,
Tres puntos uno en cada lado,

y pide demostrar concurrencia de tres rectas o cocircularidad de cuatro puntos, considerar el punto de Miquel.

Aplicación 2: cuadrilátero completo

Si un problema involucra cuatro rectas en posición general (o un cuadrilátero con sus diagonales prolongadas), el punto de Miquel es el centro natural de la configuración, y casi todas las concurrencias se explican por su existencia.

Aplicación 3: problemas olímpicos

IMO 2001/5 (variante). Configuración con cuatro circuncírculos. El punto común es el punto de Miquel.

OME 2015. Demostrar que ciertos cuatro circuncírculos en una configuración pasan por un punto. Aplicación directa de Miquel.

OIM 2009. Problema con tres puntos en los lados; identificar el punto de Miquel resuelve.

Aplicación 4: caracterización del punto

Para el cuadrilátero completo $ABCD$ con diagonales prolongadas (rectas $AB$ , $CD$ , $AC$ , $BD$ ), si $M$ es el punto de Miquel:

$M$ está en el círculo de los puntos diagonales (configuración autopolar).
$M$ se proyecta sobre las cuatro rectas en puntos colineales (línea de Simson generalizada).
$M$ es el centro de la inversión que intercambia los pares opuestos.

Observación

Por qué aparece tanto. El teorema de Miquel formaliza la idea intuitiva de que "cuando tres circunferencias están relacionadas de cierta manera, deben concurrir". Es una de las pocas afirmaciones de concurrencia garantizada sin hipótesis especiales, lo cual la hace extremadamente usable.

Cómo aplicarlo en un problema.

Identifica un triángulo (o cuadrilátero) en la configuración.
Identifica tres puntos en sus lados (o las cuatro intersecciones del cuadrilátero).
Aplica Miquel: los tres (o cuatro) circuncírculos concurren.
Usa este punto distinguido para la demostración.

Generalización al cuadrilátero cíclico. Si los cuatro vértices del cuadrilátero $ABCD$ son concíclicos (cuadrilátero cíclico), entonces el punto de Miquel coincide con el centro del circuncírculo del cuadrilátero. Esta es la "degeneración" del caso general.

Problemas relacionados

IMO 1985/5. Configuración con cuatro circuncírculos concurrentes.
Putnam 1997. Aplicación al cuadrilátero completo.
Teorema del cuadrilátero pivote: generalización donde el punto de Miquel "pivota" cuando los tres puntos del triángulo se mueven.
Teorema de Clifford: generalización para $n$ rectas y $n$ -tuplas de circunferencias.