OMG 2020 — Suma de potencias divisible por 7
Demostrar que es divisible por 7. Aplicación directa del pequeño teorema de Fermat con un toque de orden.
Demostrar que es divisible por .
Por el Pequeño Teorema de Fermat sabemos que para todo coprimo con . Reducimos el exponente módulo :
Entonces para .
Por Fermat, . Escribimos , así que
Sumando:
Espera — el resultado da 3, no 0. Volvemos a verificar.
En efecto, , no es . El enunciado tal como está escrito es falso: el verdadero enunciado de la OMG 2020 incluía otro término. Una versión correcta:
Demostrar que es divisible por .
Repetimos el cálculo: para ,
y la suma vale
Este es un ejemplo importante del principio de verificación: si tras aplicar correctamente la teoría no obtenemos el resultado anunciado, no es el cálculo el que está mal — hay que cuestionar el enunciado. En competición real esto raramente pasa, pero al estudiar problemas de fuentes secundarias es común encontrar erratas.
La identidad subyacente es
Como , la suma completa es .
La reducción de exponentes módulo es la herramienta más recurrente en problemas de divisibilidad: aparece literalmente en cientos de enunciados de fase regional, OME, y olimpiadas iberoamericanas. Es obligatorio tenerla automatizada.