Olimpiada Matemática — Adrián García Bouzas

Enunciado

Hallar todos los enteros $n$ tales que $n^2 + 19n + 92$ sea un cuadrado perfecto.

Idea de la solución

Una de las técnicas más fiables para problemas del tipo "¿cuándo es un polinomio cuadrático un cuadrado?" consiste en encerrar la expresión entre dos cuadrados consecutivos. Si conseguimos que $k^2 < P(n) < (k+1)^2$ para todo $n$ suficientemente grande, no hay solución en ese rango; los pocos casos restantes se verifican a mano.

Demostración

Sea $P(n) = n^2 + 19n + 92$ . Completamos el cuadrado:

P(n) \;=\; n^2 + 19n + 92 \;=\; \left(n + \tfrac{19}{2}\right)^2 + 92 - \tfrac{361}{4} \;=\; \left(n + \tfrac{19}{2}\right)^2 + \tfrac{7}{4}.

Esto sugiere comparar $P(n)$ con $(n+9)^2$ y $(n+10)^2$ :

(n+9)^2 \;=\; n^2 + 18n + 81, \qquad (n+10)^2 \;=\; n^2 + 20n + 100.

Computamos las diferencias:

P(n) - (n+9)^2 \;=\; n + 11, \qquad (n+10)^2 - P(n) \;=\; n + 8.

Caso 1. Si $n \geq -7$ , entonces $n + 11 > 0$ y $n + 8 \geq 1 > 0$ , así que

(n+9)^2 \;<\; P(n) \;<\; (n+10)^2.

Es decir, $P(n)$ está estrictamente entre dos cuadrados consecutivos y no puede ser un cuadrado. No hay solución para $n \geq -7$ .

Caso 2. Si $n = -8$ : $P(-8) = 64 - 152 + 92 = 4 = 2^2$ . Solución.

Caso 3. Si $n = -9$ : $P(-9) = 81 - 171 + 92 = 2$ . No es cuadrado.

Caso 4. Si $n = -10$ : $P(-10) = 100 - 190 + 92 = 2$ . No es cuadrado.

Caso 5. Si $n = -11$ : $P(-11) = 121 - 209 + 92 = 4 = 2^2$ . Solución.

Caso 6. Para $n \leq -12$ , observamos por simetría: la sustitución $n \mapsto -19 - n$ deja $P(n)$ invariante (lo verificamos: $(-19-n)^2 + 19(-19-n) + 92 = n^2 + 38n + 361 - 361 - 19n + 92 = n^2 + 19n + 92$ ). Por simetría con el Caso 1, $P(n)$ tampoco puede ser cuadrado para $n \leq -12$ .

Las únicas soluciones son $\boxed{n = -8 \text{ y } n = -11}$ . $\blacksquare$

Observación

El uso de la simetría $n \mapsto -19 - n$ ahorra la mitad del análisis. Detectarla: el eje del polinomio es $n = -19/2$ , y reflejar en él intercambia los valores enteros. Es una herramienta muy útil en este tipo de problemas.

Aplicaciones

Esta técnica del sandwich entre cuadrados funciona siempre que el polinomio sea cuadrático mónico (o, más generalmente, cuando podamos identificar el coeficiente líder). Para grado mayor, el ingrediente correcto es la acotación entre potencias consecutivas y, en problemas más finos, la valoración $p$ -ádica.