Olimpiada Matemática — Adrián García Bouzas

Enunciado

Demostrar que para todo entero $n \geq 0$ , el número

C_n \;=\; \frac{(2n)!}{n!\,(n+1)!}

es un entero positivo.

Idea de la solución

El truco está en reconocer que $C_n$ es el $n$ -ésimo número de Catalan y que admite la siguiente identidad:

C_n \;=\; \binom{2n}{n} - \binom{2n}{n+1}.

Como diferencia de dos coeficientes binomiales, es automáticamente entero. Pero el problema espera una demostración directa, no la fórmula.

Demostración

Partimos de la identidad combinatoria

\frac{(2n)!}{n!\,(n+1)!} \;=\; \frac{(2n)!}{n!\,n!} \cdot \frac{1}{n+1} \;=\; \frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}.

El problema se reduce a demostrar que $(n+1) \mid \binom{2n}{n}$ . Para ello, observamos:

\binom{2n}{n} - \binom{2n}{n+1} \;=\; \frac{(2n)!}{n!\,n!} - \frac{(2n)!}{(n-1)!\,(n+1)!}.

Sacando factor común $\dfrac{(2n)!}{n!\,(n+1)!}$ :

\binom{2n}{n} - \binom{2n}{n+1} \;=\; \frac{(2n)!}{n!\,(n+1)!} \cdot \big[(n+1) - n\big] \;=\; \frac{(2n)!}{n!\,(n+1)!}.

Hemos probado entonces que

\frac{(2n)!}{n!\,(n+1)!} \;=\; \binom{2n}{n} - \binom{2n}{n+1},

que es diferencia de enteros y por tanto entero. $\blacksquare$

Observación

El número $C_n = \frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$ cuenta, entre otras cosas:

Las triangulaciones de un polígono convexo de $n+2$ lados.
Las expresiones bien formadas con $n$ pares de paréntesis.
Los caminos en el retículo $(0,0) \to (n,n)$ que no cruzan la diagonal.

Que un mismo número aparezca en tan diversos problemas es una de las primeras lecciones que enseña la combinatoria enumerativa.

Aplicaciones

El argumento del paso telescópico $\binom{2n}{n} - \binom{2n}{n+1}$ es la técnica clave: muchos cocientes de factoriales se prueban enteros buscando una identidad combinatoria que los exprese como diferencia o suma de binomiales.