Teoría de Números — Problemas resueltos

OME 2015 — Irracionalidad de

Demostrar que es irracional. Problema clásico de fase nacional que ejercita el descenso y el manejo de extensiones cuadráticas.

DificultadNacional
CompetenciaOME 2015 (Fase Nacional)
Etiquetasirracionalidaddescensoextensiones-cuadraticas
Requisitosdescenso-infinito
AutorAdrián García Bouzas
Actualizado2026-02-10
Enunciado

Demostrar que el número 2+3\sqrt 2 + \sqrt 3 es irracional.

Idea de la solución

Suponemos por reducción al absurdo que 2+3=pq\sqrt 2 + \sqrt 3 = \frac{p}{q} es racional, y manipulamos para llegar a una contradicción con la irracionalidad — ya conocida — de 6\sqrt 6.

Demostración

Supongamos que 2+3=r∈Q\sqrt 2 + \sqrt 3 = r \in \mathbb Q. Elevando al cuadrado:

r2  =  (2+3)2  =  2+26+3  =  5+26.r^2 \;=\; (\sqrt 2 + \sqrt 3)^2 \;=\; 2 + 2\sqrt 6 + 3 \;=\; 5 + 2\sqrt 6.

Despejando:

6  =  r2−52.\sqrt 6 \;=\; \frac{r^2 - 5}{2}.

Como r∈Qr \in \mathbb Q, el lado derecho es racional, así que 6∈Q\sqrt 6 \in \mathbb Q. Pero 6\sqrt 6 es irracional: si 6=ab\sqrt 6 = \frac{a}{b} con gcd⁡(a,b)=1\gcd(a, b) = 1, entonces 6b2=a26b^2 = a^2, así que 2∣a2⇒2∣a2 \mid a^2 \Rightarrow 2 \mid a, luego 4∣a2=6b24 \mid a^2 = 6b^2, lo que obliga a 2∣3b22 \mid 3b^2, y por tanto 2∣b2 \mid b, contradiciendo gcd⁡(a,b)=1\gcd(a, b) = 1.

Hemos derivado una contradicción. Luego 2+3∉Q\sqrt 2 + \sqrt 3 \notin \mathbb Q. ■\blacksquare

Observación

El argumento se generaliza con elegancia: si p1,…,pkp_1, \ldots, p_k son primos distintos, entonces

p1+p2+⋯+pk\sqrt{p_1} + \sqrt{p_2} + \cdots + \sqrt{p_k}

es irracional. La demostración general usa la teoría de extensiones de cuerpos: el grado [Q(p1,…,pk):Q]=2k[\mathbb Q(\sqrt{p_1}, \ldots, \sqrt{p_k}) : \mathbb Q] = 2^k, lo que prohíbe que cualquier elemento no trivial sea racional.

Aplicaciones

La técnica clave es aislar la parte irracional: tras elevar al cuadrado, la única expresión que sobrevive con raíces no anidadas es la mixta 2⋅3=6\sqrt{2 \cdot 3} = \sqrt 6. Esta idea de forzar la aparición del radical aislado es el motor de casi todos los problemas de irracionalidad olímpica.

En geometría se traduce en la imposibilidad de construir con regla y compás ciertos puntos cuyas coordenadas violan esta estructura — el conocido problema de la duplicación del cubo 23\sqrt[3]{2}.

Problemas relacionados
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