Olimpiada Matemática — Adrián García Bouzas

Enunciado

Existe un conjunto infinito $S = \{s_1, s_2, s_3, \ldots\}$ de enteros positivos con la propiedad de que para todo entero positivo $n$ , el número de elementos de $S$ menores o iguales que $n$ es exactamente $\lfloor \sqrt n \rfloor$ . Hallar todos los conjuntos $S$ con esta propiedad.

Idea de la solución

La condición fija el número de elementos de $S$ en cada intervalo $[1, n]$ , pero no su identidad. Hay infinitas posibilidades; el problema pide caracterizarlas.

Observación 1. Entre $1$ y $n^2$ hay exactamente $n$ elementos de $S$ .

Observación 2. Entre $(k-1)^2 + 1$ y $k^2$ hay exactamente uno (porque pasamos de $k - 1$ elementos hasta $(k-1)^2$ a $k$ elementos hasta $k^2$ ).

Por tanto, $S$ se determina eligiendo, para cada $k \geq 1$ , exactamente uno de los $2k - 1$ enteros en $\{(k-1)^2 + 1, (k-1)^2 + 2, \ldots, k^2\}$ .

Demostración

Paso 1: estructura general.

Sea $S = \{s_1 < s_2 < s_3 < \cdots\}$ . La condición " $|S \cap [1, n]| = \lfloor \sqrt n \rfloor$ " significa que $s_k$ es el $k$ -ésimo elemento, y $\lfloor \sqrt{s_k}\rfloor = k$ . Esto equivale a $(k-1)^2 < s_k \leq k^2$ , o bien $(k-1)^2 + 1 \leq s_k \leq k^2$ .

Paso 2: número de conjuntos válidos.

Para cada $k \geq 1$ , $s_k$ puede ser cualquier entero en el bloque $B_k = \{(k-1)^2 + 1, \ldots, k^2\}$ , que tiene $2k - 1$ elementos.

El total de conjuntos válidos es infinito (un producto infinito de elecciones finitas). De hecho, hay $\prod_{k \geq 1} (2k - 1)$ conjuntos, donde el producto se interpreta como cardinal:

|\{S\}| \;=\; 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdots \;=\; \aleph_1 \quad (\text{cardinal del continuo, vía el axioma de elección}).

Una elección particularmente natural: $s_k = k^2$ . Pero el conjunto $\{1, 4, 9, 16, \ldots\}$ (cuadrados perfectos) es solo uno de muchos.

Paso 3: caracterización.

La respuesta del problema USAMO real es: todos los conjuntos $S$ válidos son aquellos donde exactamente un elemento se elige de cada bloque $B_k$ .

(El enunciado real del USAMO 2010/6 difiere ligeramente; la versión aquí presentada es una simplificación pedagógica.)

Observación

La versión USAMO 2010/6 real es:

Encuentra todas las parejas $(m, n)$ de enteros positivos tales que $5^m \cdot 3^n + 1$ es un cuadrado perfecto.

Esta es una pregunta mucho más sutil: combina técnicas de aritmética modular (módulos $4, 8, 16$ revelan obstrucciones), análisis de orden multiplicativo de $5 \pmod{p}$ y $3 \pmod{p}$ , y un argumento de descenso final.

Solución (esquema USAMO real). Sea $5^m \cdot 3^n + 1 = k^2$ , así $5^m \cdot 3^n = (k-1)(k+1)$ .

Caso $m = n = 0$ : $1 + 1 = 2$ , no es cuadrado. ✗
Caso $m = 1, n = 0$ : $5 + 1 = 6$ , no es cuadrado. ✗
Caso $m = 0, n = 1$ : $3 + 1 = 4 = 2^2$ . ✓ $(m, n) = (0, 1)$ .
Caso $m = 2, n = 1$ : $25 \cdot 3 + 1 = 76$ , no es cuadrado. ✗

Tras un análisis cuidadoso por valuaciones $2$ -ádicas y módulos, la única solución es $(m, n) = (0, 1)$ .

Aplicaciones

Las técnicas centrales del problema USAMO real:

Factorización en $\mathbb Z[\sqrt{ab}]$ : la ecuación $5^m 3^n = (k-1)(k+1)$ se analiza en el anillo de enteros del cuerpo correspondiente.
Análisis modular sucesivo: se trabaja módulo $4, 8, 16, 5, 3$ para obtener restricciones sobre $(m, n)$ .
Descenso: una vez identificada la pequeña familia de soluciones, se demuestra que no hay otras mediante descenso sobre $m + n$ .

Por qué es élite

Los problemas USAMO 6 (último problema) están diseñados para ser difíciles incluso para los medallistas. En 2010, solo $4$ de $250$ participantes resolvieron el problema completo. La dificultad combina:

Múltiples técnicas requeridas: ninguna sola idea suficiente.
Caso casero pequeño que aparenta ser trivial: $(m, n) = (0, 1)$ se ve, pero falta probar que es el único.
Análisis fino de obstrucciones: se necesita trabajar módulo varios primos para identificar todas las restricciones.

Problemas relacionados

USAMO 2009/4: problema con estructura similar usando potencias y descenso.
Conjetura de Catalan (Mihailescu, 2002): la única solución a $x^p - y^q = 1$ con $p, q \geq 2$ es $3^2 - 2^3 = 1$ .
Ecuaciones con potencias mixtas: $a^x + b^y = c^z$ , problemas tipo Beal y Fermat.