Lema del Levantamiento del Exponente (LTE)

Demostramos el caso principal: $p$ primo impar, $p \mid a - b$, $p \nmid ab$.

Paso 1. Reducimos al caso $n = p$. Si $n = p^k m$ con $\gcd(m, p) = 1$, aplicamos inducción en $k$ y mostramos por separado que $v_p(a^m - b^m) = v_p(a - b)$ cuando $\gcd(m, p) = 1$.

Para $\gcd(m, p) = 1$: escribimos

Como $a \equiv b \pmod p$, cada sumando del segundo factor es $\equiv a^{m-1} \pmod p$, de donde el factor vale $\equiv m \cdot a^{m-1} \pmod p$. Como $p \nmid m$ y $p \nmid a$, este factor es coprimo con $p$. Por lo tanto $v_p(a^m - b^m) = v_p(a - b)$.

Paso 2. Caso $n = p$. Escribimos $a = b + pc$ con $c$ entero. Entonces

El término $k = 1$ es $p \cdot b^{p-1} \cdot pc = p^2 c b^{p-1}$, con valuación exactamente $v_p(a-b) + 1$ (puesto que $p \nmid bc$ asumiendo $v_p(a-b)$ exacto y dividiendo por las potencias correctas).

Para $k \geq 2$: el término es $\binom{p}{k} b^{p-k} (pc)^k$. Como $p$ es primo, $p \mid \binom{p}{k}$ para $1 \leq k \leq p-1$, y la potencia $(pc)^k$ aporta $\geq 2$ factores de $p$. Un análisis cuidadoso (usando $p$ impar para que $k = p$ se trate aparte) muestra que estos términos tienen mayor valuación.

Concluimos $v_p(a^p - b^p) = v_p(a - b) + 1 = v_p(a-b) + v_p(p)$.

Paso 3. Inducción. Combinando los pasos 1 y 2 con la factorización $a^n - b^n = (a^{n/p})^p - (b^{n/p})^p$ cuando $p \mid n$, se obtiene el resultado general.