Olimpiada Matemática — Adrián García Bouzas

Enunciado

Sean $\omega_1$ y $\omega_2$ dos circunferencias tangentes externamente en un punto $T$ . Una recta $\ell$ pasa por un punto $P$ exterior a ambas circunferencias y corta a $\omega_1$ en los puntos $A$ , $A'$ (con $A$ entre $P$ y $A'$ ) y a $\omega_2$ en los puntos $B$ , $B'$ (con $B$ entre $P$ y $B'$ ). Demostrar que

|PA| \cdot |PA'| \;=\; |PB| \cdot |PB'| \;\Longleftrightarrow\; P \in \overleftrightarrow{T} \text{ (la tangente común en } T).

(Es decir, las dos potencias coinciden exactamente cuando $P$ está sobre la tangente común en el punto de tangencia.)

Fase 1: identificar las herramientas

Recordemos las dos potencias en juego:

\operatorname{pot}_{\omega_1}(P) \;=\; |PA| \cdot |PA'|, \qquad \operatorname{pot}_{\omega_2}(P) \;=\; |PB| \cdot |PB'|.

(Con signos, pero para $P$ exterior a ambas circunferencias, ambas son positivas.)

Replanteamiento. La condición pedida es:

\operatorname{pot}_{\omega_1}(P) \;=\; \operatorname{pot}_{\omega_2}(P).

Conocimiento previo: el lugar geométrico de los puntos con potencia igual a dos circunferencias es el eje radical.

Fase 2: identificar el eje radical

¿Qué es el eje radical de dos circunferencias tangentes externamente en $T$ ?

Caso de tangencia: dos circunferencias tangentes externamente comparten exactamente un punto $T$ . La recta perpendicular a la línea de centros $O_1 O_2$ que pasa por $T$ es precisamente la tangente común en $T$ . Esta es la tangente común externa que pasa por $T$ .

Verificación. Por la caracterización: el eje radical es la recta perpendicular a $O_1 O_2$ tal que la potencia respecto a ambas circunferencias coincide. En el punto $T$ :

$\operatorname{pot}_{\omega_1}(T) = |TO_1|^2 - r_1^2 = r_1^2 - r_1^2 = 0$ .
$\operatorname{pot}_{\omega_2}(T) = |TO_2|^2 - r_2^2 = r_2^2 - r_2^2 = 0$ .

Sí, $T$ está en el eje radical. La perpendicular a $O_1 O_2$ por $T$ es la tangente común en $T$ (porque la línea de centros es perpendicular a la tangente común en el punto de tangencia, por simetría).

Por tanto: el eje radical de $\omega_1$ y $\omega_2$ es la tangente común en $T$ .

Fase 3: aplicar la caracterización

Por la definición del eje radical:

P \in \text{eje radical} \quad \Longleftrightarrow \quad \operatorname{pot}_{\omega_1}(P) = \operatorname{pot}_{\omega_2}(P).

Sustituyendo:

P \in \text{tangente común en } T \quad \Longleftrightarrow \quad |PA| \cdot |PA'| = |PB| \cdot |PB'|.

Esto es exactamente lo pedido. $\blacksquare$

Demostración formal completa

Vamos a redactarlo limpio, sin proceso heurístico:

Demostración.

Sea $\omega_1$ con centro $O_1$ y radio $r_1$ , $\omega_2$ con centro $O_2$ y radio $r_2$ , tangentes externamente en $T$ . La línea $O_1 O_2$ pasa por $T$ y $|O_1 T| = r_1$ , $|O_2 T| = r_2$ .

La tangente común $t$ a $\omega_1$ y $\omega_2$ en $T$ es la recta perpendicular a $O_1 O_2$ por $T$ .

(⇐) Si $P \in t$ .

Calculamos las potencias:

\operatorname{pot}_{\omega_1}(P) \;=\; |PO_1|^2 - r_1^2, \qquad \operatorname{pot}_{\omega_2}(P) \;=\; |PO_2|^2 - r_2^2.

Como $P \in t$ y $t \perp O_1 O_2$ en $T$ , por Pitágoras:

|PO_1|^2 \;=\; |PT|^2 + |TO_1|^2 \;=\; |PT|^2 + r_1^2,

|PO_2|^2 \;=\; |PT|^2 + r_2^2.

Sustituyendo:

\operatorname{pot}_{\omega_1}(P) \;=\; |PT|^2, \qquad \operatorname{pot}_{\omega_2}(P) \;=\; |PT|^2.

Las dos potencias coinciden, así que (interpretando las potencias en términos de la secante $\ell$ ):

|PA| \cdot |PA'| \;=\; \operatorname{pot}_{\omega_1}(P) \;=\; |PT|^2 \;=\; \operatorname{pot}_{\omega_2}(P) \;=\; |PB| \cdot |PB'|. \quad \checkmark

(⇒) Si $|PA| \cdot |PA'| = |PB| \cdot |PB'|$ .

Esto significa $\operatorname{pot}_{\omega_1}(P) = \operatorname{pot}_{\omega_2}(P)$ .

Por la definición del eje radical: el conjunto de tales $P$ es exactamente el eje radical de $\omega_1, \omega_2$ .

Por el cálculo de la dirección anterior: $t$ está contenida en el eje radical (las potencias en $T$ son ambas $0$ , y $t$ es perpendicular a $O_1 O_2$ — la dirección obligatoria del eje radical, que es única).

Por unicidad de la recta perpendicular por $T$ : el eje radical es exactamente $t$ . Luego $P \in t$ . $\blacksquare$

Observación

Lo que aprendimos.

Identificar el invariante. La condición del problema es una igualdad de productos de longitudes — pero bajo el espejo de la potencia del punto, se convierte en igualdad de potencias. Esto traduce un problema métrico en un problema geométrico (lugar geométrico).
El eje radical de circunferencias tangentes es la tangente común. Es un caso particular tan útil que conviene memorizarlo. Otros casos:
- Tangentes externamente → tangente común en el punto.
- Tangentes internamente → tangente común en el punto (sí, la misma estructura).
- Secantes → la recta que pasa por los dos puntos de intersección.
- Disjuntas → una recta que no toca ninguna de las dos.
Una identidad bonita. $\operatorname{pot}_{\omega_i}(P) = |PT|^2$ cuando $P$ está en la tangente $t$ : significa que la distancia tangencial desde $P$ a $T$ es igual a la potencia.

Por qué este es un problema típico de OMG. El nivel regional gallego suele tener un problema de geometría con una configuración estándar y una idea técnica conocida. Aquí, la "idea" es invocar el eje radical. Sin ese concepto, el problema parece duro; con él, es una página.

Generalización

Versión más general. Para tres circunferencias tangentes (o intersecantes) mutuamente en pares, sus tres tangentes comunes (o ejes radicales) son concurrentes en el centro radical.

En el caso de tres circunferencias mutuamente tangentes en puntos distintos $T_{12}, T_{23}, T_{13}$ , las tres tangentes son concurrentes en un punto cuyas distancias a $T_{12}, T_{23}, T_{13}$ son iguales — el centro de la circunferencia tangencial interior.

Problemas relacionados

OME 2014. Problema similar con tres circunferencias y centro radical.
IMO 1992/4. Configuración de circunferencias tangentes con argumento tipo centro radical.
Problema de Apolonio (clásico): dadas tres circunferencias, construir las que son tangentes a las tres. Aplicación profunda de potencias y ejes radicales.