Selección de problemas — triángulos y circunferencias

1. Sea $ABC$ un triángulo con $AB = AC$. Una circunferencia es tangente internamente a la circunferencia circunscrita de $ABC$ y también es tangente a los lados $AB$ y $AC$. Probar que el punto de tangencia con $BC$ divide al segmento $BC$ por la mitad.

2. En un triángulo $ABC$, sea $I$ el incentro. La recta $AI$ corta a la circunferencia circunscrita en $M \neq A$. Probar que $MI = MB = MC$ ("lema del trillizo" o trillium lemma).

3. Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico cuyas diagonales se cortan en $P$. Probar que

4. Dos circunferencias $\omega_1$ y $\omega_2$ se cortan en $A$ y $B$. Una recta por $A$ corta a $\omega_1$ en $C$ y a $\omega_2$ en $D$, ambos distintos de $A$. Sea $M$ el punto medio del arco $BC$ de $\omega_1$ que no contiene a $A$, y $N$ el punto medio del arco $BD$ de $\omega_2$ que no contiene a $A$. Probar que el cuadrilátero $BCNM$ es cíclico.

5. (Lema del cuadrilátero completo) Sean $\ell_1, \ell_2, \ell_3, \ell_4$ cuatro rectas en posición general. Probar que los circuncentros de los cuatro triángulos formados por tres de ellas están sobre una misma circunferencia.

6. Sea $ABC$ un triángulo con $\angle A = 60°$. Sean $I$ el incentro, $O$ el circuncentro, $H$ el ortocentro. Probar que $OI = IH$.

7. (IMO 1985, P5) Una circunferencia $\Gamma$ pasa por un vértice $A$ de un cuadrado $ABCD$ y corta a los lados $AB, AD$ y a la diagonal $AC$ en $B', D', E$ respectivamente. Probar que $AE = AB' + AD'$.

8. Sea $ABC$ un triángulo y sea $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. La tangente a $\Gamma$ en $A$ corta a la recta $BC$ en $P$. Probar que $PA^2 = PB \cdot PC$.

9. (IMO 2010, P2) Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC$, y sea $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. La recta $AI$ corta de nuevo a $\Gamma$ en $D$. Sea $E$ un punto en el arco $BDC$ y $F$ un punto en el segmento $BC$ tales que $\angle BAF = \angle CAE < \frac{1}{2} \angle BAC$. Sea $G$ el punto medio de $IF$. Demostrar que las rectas $DG$ y $EI$ se cortan sobre $\Gamma$.

10. Sean $\omega_1, \omega_2, \omega_3$ tres circunferencias mutuamente tangentes exteriores en los puntos $A, B, C$. Las rectas $AB$ y $AC$ cortan de nuevo a la circunferencia $\omega_2$ en $D$ y $\omega_3$ en $E$. Probar que $A, B, C, D, E$ están relacionados por una identidad métrica simple.

• Problemas 1, 4, 8, 10: potencia de un punto.
• Problema 2: ángulos inscritos. $\angle MBI = \angle MIB$ por exterior.
• Problema 3: aplicar Ptolomeo y comparar áreas.
• Problemas 5, 9: configuraciones avanzadas, considerar inversión.
• Problema 6: usar coordenadas baricéntricas o el cálculo explícito $OH^2$.
• Problema 7: trigonometría sobre $\Gamma$.