Coordenadas: cartesianas, baricéntricas y complejas

Cualquier problema de geometría puede traducirse a un sistema de coordenadas y resolverse mediante cálculo algebraico. El precio: la elegancia. La ventaja: la garantía de obtener una respuesta si el problema tiene una.

Los tres sistemas más útiles en olimpiada:

Cuándo usar:

• Distancias y áreas explícitas que aparecen en el enunciado.
• Configuraciones rectangulares o con muchas perpendicularidades.
• Cuando aparezcan ecuaciones de circunferencias explícitas.

Idea operativa. Sitúa el sistema de modo que las hipótesis se vuelvan simétricas o las coordenadas de puntos sean enteras pequeñas. Por ejemplo: el origen en un vértice, un eje a lo largo de un lado.

Ejemplo

Problema. En un triángulo rectángulo $ABC$ con catetos $a, b$ e hipotenusa $c$, ¿qué relación cumple el radio del círculo inscrito $r$ con $a, b, c$?

Solución coordenada. Sitúo $A = (0, 0)$, $B = (a, 0)$, $C = (0, b)$. La hipotenusa es $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$, o $bx + ay = ab$, con distancia a un punto $(x_0, y_0)$ dada por $|bx_0 + ay_0 - ab|/c$.

El incentro está en $(r, r)$ por simetría (a distancia $r$ de los dos ejes coordenados). Su distancia a la hipotenusa debe ser también $r$:

Y con $a + b + c = 2s$ y $ab = 2[ABC]$: $r = [ABC]/s$. Recuperamos la fórmula general $r = \text{Área}/\text{semiperímetro}$. $\blacksquare$

Cuándo usar:

• El problema involucra puntos especiales del triángulo (baricentro, ortocentro, incentro, circuncentro, etc.).
• Hay cevianas, intersecciones de cevianas, configuraciones internas al triángulo.
• Las identidades dependen de razones, no de longitudes absolutas.

Definición. Dado un triángulo $ABC$, todo punto $P$ del plano se representa por una terna $(u : v : w)$ con $u + v + w \neq 0$, tal que

Las coordenadas son homogéneas: $(u : v : w)$ y $(\lambda u : \lambda v : \lambda w)$ representan el mismo punto.

Puntos notables:

• Vértices: $A = (1:0:0)$, $B = (0:1:0)$, $C = (0:0:1)$.
• Baricentro: $G = (1:1:1)$.
• Incentro: $I = (a:b:c)$ con $a = |BC|, b = |CA|, c = |AB|$.
• Circuncentro: $O = (a^2(b^2+c^2-a^2) : b^2(c^2+a^2-b^2) : c^2(a^2+b^2-c^2))$.
• Ortocentro: $H = (\tan A : \tan B : \tan C)$.

Ecuación de una recta: $ux + vy + wz = 0$ en variables baricéntricas.

Colinealidad: tres puntos son colineales sii el determinante de sus baricéntricas es cero.

Ejemplo

Problema. En un triángulo $ABC$, sea $G$ el baricentro y $D, E, F$ los puntos medios de $BC, CA, AB$. Demostrar que las medianas son concurrentes.

Solución. $D = (0 : 1 : 1)$, $E = (1 : 0 : 1)$, $F = (1 : 1 : 0)$.

La mediana $AD$ pasa por $A = (1:0:0)$ y $D = (0:1:1)$: su ecuación es $y - z = 0$ (anula a ambos puntos).

Similarmente, $BE$: $x - z = 0$; $CF$: $x - y = 0$.

Las tres ecuaciones se satisfacen simultáneamente en $x = y = z$, es decir, el baricentro $G = (1:1:1)$. ✓ $\blacksquare$

Cuándo usar:

• Configuraciones cíclicas (puntos en una circunferencia).
• Problemas con muchas rotaciones, reflexiones, semejanzas.
• Cuando aparezcan espirales semejantes o isogonalidades.

Idea. Cada punto del plano es un número complejo. La circunferencia unitaria suele ser el circuncírculo, y los vértices son $a, b, c$ con $|a| = |b| = |c| = 1$.

Identidades clave:

• Ortocentro: $H = a + b + c$.
• Circuncentro: $O = 0$ (con el circuncírculo unitario centrado en el origen).
• Baricentro: $G = (a + b + c)/3 = H/3$.
• Reflexión de $z$ sobre la cuerda $pq$ (con $|p| = |q| = 1$): $z' = p + q - pq\bar z$.
• Producto $\bar a \cdot a = 1$ porque $|a|^2 = 1$.

Ejemplo

Problema. Demostrar que $O$, $G$, $H$ son colineales (recta de Euler).

Solución. Con $O = 0$, $G = (a+b+c)/3$, $H = a+b+c$. Entonces $H = 3G$, y $O = 0 = 0 \cdot G$. Los tres puntos están en la recta que pasa por el origen y por $G$. $\blacksquare$

Comparemos con la prueba sintética, que requiere homotecia y triangulo medial — más bonita, pero menos automática.