Olimpiada Matemática — Adrián García Bouzas

Definición

Una homotecia de centro $O$ y razón $k \neq 0$ es la transformación $h_{O, k}: P \mapsto P'$ con $\vec{OP'} = k \vec{OP}$ . Es decir, $P'$ está sobre la recta $OP$ , a distancia $|k| \cdot |OP|$ de $O$ , del mismo lado si $k > 0$ y del lado opuesto si $k < 0$ .

Propiedades

Linealidad. Una homotecia transforma rectas en rectas paralelas (o coincidentes si pasan por $O$ ).
Conservación de ángulos. Una homotecia es conforme.
Multiplicación de longitudes. Distancias se multiplican por $|k|$ .
Multiplicación de áreas. Áreas se multiplican por $k^2$ .
Transforma circunferencias en circunferencias. El centro $C$ de una circunferencia $\omega$ se mapea al centro $C'$ de $\omega'$ , y el radio se multiplica por $|k|$ .

Teorema (composición)

Sean $h_1$ una homotecia de centro $O_1$ y razón $k_1$ , y $h_2$ una de centro $O_2$ y razón $k_2$ .

Si $k_1 k_2 \neq 1$ : $h_2 \circ h_1$ es una homotecia de razón $k_1 k_2$ con centro en algún punto $O_3$ sobre la recta $O_1 O_2$ .
Si $k_1 k_2 = 1$ : $h_2 \circ h_1$ es una traslación (homotecia con centro en el infinito).

Demostración

La composición $h_2 \circ h_1$ es una transformación afín que conserva los ángulos, así que es una homotecia o una traslación. La razón total es $k_1 k_2$ (productos de razones). El centro se determina como punto fijo: si $P$ es centro, entonces $h_2(h_1(P)) = P$ . Resolviendo:

\vec{O_1 P} \cdot k_1 \to h_1(P), \quad h_1(P) = O_1 + k_1 (\vec{P - O_1}).

h_2(h_1(P)) = O_2 + k_2(\vec{h_1(P) - O_2}).

Igualando a $P$ y despejando:

P \;=\; \frac{(1 - k_2) O_2 + k_2(1 - k_1) O_1}{1 - k_1 k_2}.

Esto define $O_3$ siempre que $k_1 k_2 \neq 1$ . Si $k_1 k_2 = 1$ , no hay punto fijo, y la composición es traslación. $\blacksquare$

Ejemplo

Aplicación 1: las medianas concurren

Las medianas $AM_A, BM_B, CM_C$ de un triángulo $ABC$ concurren en el baricentro $G$ .

Demostración. Consideramos la homotecia de centro $G$ y razón $-1/2$ . Aplicada a $A$ , debe llevar a $M_A$ (porque $\vec{GM_A} = -\tfrac{1}{2}\vec{GA}$ , por la propiedad del baricentro). De forma análoga, $B \to M_B$ y $C \to M_C$ .

Esta homotecia transforma el triángulo $ABC$ en el triángulo medial $M_A M_B M_C$ , dividiendo todas las distancias por 2.

Aplicación 2: dos circunferencias y la línea de centros

Dadas dos circunferencias $\omega_1$ y $\omega_2$ con centros $O_1, O_2$ y radios $r_1, r_2$ , hay dos homotecias que mapean $\omega_1$ a $\omega_2$ :

Homotecia positiva con centro externo $P_+$ y razón $r_2/r_1$ .
Homotecia negativa con centro interno $P_-$ y razón $-r_2/r_1$ .

Los centros $P_\pm$ están sobre la recta $O_1 O_2$ y son los puntos donde se intersecan las tangentes comunes (externas para $P_+$ , internas para $P_-$ ).

Aplicación 3: el teorema de Monge

Dadas tres circunferencias $\omega_1, \omega_2, \omega_3$ en el plano (con centros y radios distintos), los tres centros externos de homotecia $P_{12}, P_{23}, P_{13}$ son colineales.

Demostración. Sea $h_{ij}$ la homotecia positiva que mapea $\omega_i \to \omega_j$ . Entonces $h_{13} = h_{23} \circ h_{12}$ (ambas mapean $\omega_1 \to \omega_3$ con la misma razón $r_3/r_1$ ). Por el teorema de composición, el centro $P_{13}$ está sobre la recta que une $P_{12}$ y $P_{23}$ . $\blacksquare$

Este teorema es uno de los más bonitos de la geometría sintética del siglo XIX, y aparece en numerosos problemas IMO/ISL.

Observación

La homotecia es la idea unificadora detrás de muchos resultados que pueden parecer ad hoc:

Triángulo medial homotético al original con razón $-1/2$ .
Circunferencia de los nueve puntos: imagen del circuncírculo bajo una homotecia.
Teorema de Tales: rectas paralelas como ejes de homotecia.

Cuando dos figuras semejantes aparecen en un problema, conviene identificar el centro y la razón de la homotecia que las relaciona — desde ahí se siguen todas las consecuencias.

Aplicaciones

Identificación de tangencias

Si dos circunferencias son tangentes, el punto de tangencia es el centro de la homotecia (positiva si tangentes externamente, negativa si internamente).

Solución del problema de Apolonio

El problema de Apolonio — dado: tres círculos, hallar un círculo tangente a los tres — se resuelve clásicamente con argumentos de homotecia que reducen el problema a casos elementales.

Inversiones y homotecias

La composición de una inversión con una homotecia centrada en el centro de la inversión es a menudo más simple que cada una por separado.

Problemas relacionados

Teorema de Monge (arriba).
IMO 2002/2. En un triángulo $ABC$ , sea $BD$ y $CE$ las bisectrices. (La homotecia que mapea el incentro a un excentro juega papel clave.)
Conjugados isogonales: la homotecia es un caso límite de las isogonalidades.