Olimpiada Matemática — Adrián García Bouzas

Definición

La inversión de centro $O$ y razón $r^2$ es la transformación del plano (menos $O$ ) en sí mismo definida por:

P \mapsto P', \quad \text{donde } \vec{OP'} = \frac{r^2}{|OP|^2} \vec{OP}.

Equivalentemente, $P'$ está sobre la semirrecta $OP$ y $|OP| \cdot |OP'| = r^2$ .

Propiedades

Involutividad. $P \to P' \to P$ . La inversión es su propia inversa.
Puntos fijos. Son los puntos de la circunferencia $|OP| = r$ , llamada circunferencia de inversión.
Imágenes de rectas y circunferencias.
- Una recta por $O$ se mapea a sí misma.
- Una recta que no pasa por $O$ se mapea a una circunferencia que pasa por $O$ .
- Una circunferencia por $O$ se mapea a una recta que no pasa por $O$ .
- Una circunferencia que no pasa por $O$ se mapea a otra circunferencia que no pasa por $O$ .
Conservación de ángulos. La inversión es conforme: ángulos entre curvas se preservan.
Preservación de tangencias. Dos curvas tangentes en un punto $P \neq O$ se transforman en curvas tangentes en $P'$ .

Demostración

(3) Recta a circunferencia. Sea $\ell$ una recta que no pasa por $O$ , y sea $A$ el pie de la perpendicular de $O$ a $\ell$ . Su imagen $A'$ está sobre la semirrecta $OA$ con $|OA||OA'| = r^2$ .

Tomemos cualquier punto $P \in \ell$ , $P \neq A$ . Por el teorema del ángulo inscrito y el cálculo de potencia, el ángulo $\angle OP'A' = 90°$ , así que $P'$ está sobre la circunferencia con diámetro $OA'$ . Esta es la imagen completa de $\ell$ .

(4) Conformalidad. Las dos curvas que se cortan en $P$ con cierto ángulo se mapean a dos curvas (rectas/circunferencias) que se cortan en $P'$ con el mismo ángulo. La demostración elegante usa que la inversión es composición de una reflexión sobre la circunferencia y una conjugación compleja, y ambas son antiholomorfas.

Ejemplo

Ejemplo 1. Invertir un triángulo $\triangle ABC$ respecto a $A$ con razón $r^2 = AB \cdot AC$ .

El punto $B \to B'$ sobre $AB$ con $AB' = r^2/AB = AC$ . Es decir, $B'$ es un punto sobre $AB$ con $AB' = AC$ . Similarmente $C \to C'$ sobre $AC$ con $AC' = AB$ .

La circunferencia $\omega$ que pasa por $A, B, C$ (circuncírculo) pasa por $A$ , así que se transforma en una recta: la recta $B'C'$ . Por construcción, esta recta es paralela al... — un cálculo verifica que es paralela a $BC$ rotada por $\angle BAC$ .

Ejemplo 2. El lema PoP (potencia del punto) tiene una demostración trivial vía inversión. Dada una circunferencia $\omega$ y un punto $P$ exterior, la inversión centrada en $P$ con razón igual a la potencia $\operatorname{pot}_\omega(P)$ mapea $\omega$ a sí misma. Las dos intersecciones de una secante por $P$ se intercambian, y el producto de sus distancias a $P$ es exactamente la potencia.

Aplicaciones

Aplicación 1: tangencias

Problema. Tres circunferencias son mutuamente tangentes externamente. Demostrar que existen exactamente dos circunferencias tangentes a las tres.

Solución con inversión. Invertir respecto al punto de tangencia de dos de ellas: las dos se vuelven dos rectas paralelas. La tercera circunferencia se vuelve una circunferencia tangente a ambas rectas. El problema se reduce a encontrar circunferencias tangentes a dos paralelas y a una circunferencia entre ellas — clásico, con dos soluciones.

Aplicación 2: la cadena de Pappus

Dadas dos circunferencias tangentes internamente, la cadena de Pappus es una secuencia de circunferencias mutuamente tangentes inscritas en la región entre ellas. Por inversión adecuada, las dos circunferencias originales se mapean a dos paralelas, y la cadena se vuelve una serie de circunferencias iguales tangentes entre paralelas — situación trivial.

Aplicación 3: el teorema de Ptolomeo

Por inversión centrada en un vértice del cuadrilátero cíclico, las longitudes se transforman de manera controlable, y Ptolomeo se reduce a la desigualdad triangular entre las imágenes.

Aplicación 4: problemas IMO clásicos

Numerosos problemas IMO con configuraciones que parecen imposibles se resuelven con una sola inversión. Por ejemplo:

IMO 1996/5. Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo... (inversión simplifica la configuración).
IMO 2014/3. Cuadrilátero con ángulos rectos opuestos.
IMO 1997/2. En el ángulo $\angle BAC$ , sea $L$ una recta...

Observación

Cómo elegir el centro y la razón.

Centro en un punto de tangencia múltiple. Mejora drásticamente la configuración.
Centro en un vértice del polígono. Útil cuando los lados desde ese vértice son protagónicos.
Razón igual a la potencia de un punto. Hace que ciertas circunferencias se preserven.
Razón unidad (inversión sobre circunferencia dada). Especialmente útil para problemas con tangencias a esa circunferencia.

La elección correcta de centro y razón es el arte de la inversión olímpica.

Problemas relacionados

Teorema de Feuerbach: la circunferencia de los nueve puntos es tangente a las cuatro circunferencias inscrita/exinscritas. Demostración estándar por inversión.
Problema de Apolonio: circunferencias tangentes a tres dadas. Inversión + casos.
Inversión hiperbólica: generalización a geometrías no euclidianas.