Olimpiada Matemática — Adrián García Bouzas

Definición

Sea $O$ un punto del plano y $r > 0$ un número real. La inversión de centro $O$ y radio $r$ es la transformación $\iota: \mathbb{R}^2 \setminus \{O\} \to \mathbb{R}^2 \setminus \{O\}$ definida por:

\iota(P) = P', \quad \text{donde } P' \text{ está sobre el rayo } OP \text{ y } OP \cdot OP' = r^2.

Equivalentemente, en coordenadas, si $O$ es el origen,

\iota(\mathbf{x}) = \frac{r^2}{|\mathbf{x}|^2} \mathbf{x}.

Propiedades fundamentales

P1. $\iota$ es involutiva: $\iota \circ \iota = \operatorname{id}$ .

P2. Si $P$ está fuera de la circunferencia de inversión $\omega = \{X : OX = r\}$ , entonces $\iota(P)$ está dentro, y viceversa. Los puntos sobre $\omega$ son fijos.

P3. Fórmula de distancia bajo inversión. Para dos puntos $A, B \neq O$ con imágenes $A', B'$ :

A'B' = \frac{r^2 \cdot AB}{OA \cdot OB}.

P4. Imagen de rectas y circunferencias.

Objeto	Pasa por $O$ ?	Imagen
Recta	Sí	La misma recta
Recta	No	Circunferencia por $O$
Circunferencia	Sí	Recta no pasante por $O$
Circunferencia	No	Circunferencia

P5. La inversión preserva ángulos (es conforme). En particular, tangencias se preservan.

Demostración (P3)

Por la propia definición, $OA \cdot OA' = OB \cdot OB' = r^2$ , luego

\frac{OA'}{OB} = \frac{r^2 / OA}{OB} = \frac{r^2}{OA \cdot OB} = \frac{OB'}{OA}.

Esto muestra que los triángulos $OAB$ y $OB'A'$ son semejantes (comparten el ángulo en $O$ y los lados adyacentes son proporcionales en razón inversa). De la semejanza:

\frac{A'B'}{AB} = \frac{OA'}{OB} = \frac{r^2}{OA \cdot OB}. \qquad \square

Estrategia: cuándo invertir

Invertir simplifica una configuración cuando hay muchas circunferencias por un mismo punto $P$ . Centrando la inversión en $P$ :

Todas las circunferencias por $P$ se vuelven rectas, fáciles de manipular.
Las circunferencias que no pasan por $P$ siguen siendo circunferencias.
Tangencias se preservan, ángulos se preservan.

El problema, originalmente sobre circunferencias, se transforma en uno sobre rectas y circunferencias en posición más simple. Resolverlo allí y luego "deshacer" la inversión.

Ejemplo

Problema. Tres circunferencias $\omega_1, \omega_2, \omega_3$ pasan por un punto común $P$ y se cortan dos a dos en otros puntos $A_{12}, A_{13}, A_{23}$ . Probar que los puntos $A_{12}, A_{13}, A_{23}$ son colineales si y sólo si las tres circunferencias tienen un segundo punto común.

Solución. Invertimos respecto a $P$ con radio cualquiera. Las tres circunferencias se vuelven tres rectas $\ell_1, \ell_2, \ell_3$ . Los puntos $A_{ij}$ se transforman en las intersecciones $\ell_i \cap \ell_j$ .

Si $A_{12}, A_{13}, A_{23}$ son colineales, sus imágenes lo siguen siendo. Pero $\ell_1 \cap \ell_2$ , $\ell_1 \cap \ell_3$ y $\ell_2 \cap \ell_3$ son los tres vértices del triángulo formado por las rectas; son colineales si y sólo si el triángulo degenera, es decir, las tres rectas son concurrentes.
Tres rectas concurrentes en un punto $Q$ vienen de tres circunferencias con un segundo punto común $\iota(Q)$ . $\square$

Aplicaciones

La inversión es decisiva en:

Problemas de tangencia. Cualquier punto de tangencia entre dos circunferencias se vuelve un punto de tangencia entre sus imágenes (o entre una recta y un círculo, o entre dos rectas paralelas).
Demostraciones de Ptolomeo y otras identidades cíclicas.
Teorema de Feuerbach: la circunferencia de los nueve puntos es tangente a las cuatro circunferencias inscrita y exinscritas. La demostración más limpia es por inversión.
Configuraciones de Apolonio: encontrar circunferencias tangentes a tres dadas.

Observación

Algunos puntos clave del manejo técnico:

Elegir el centro con cuidado. El centro de inversión es el punto que el problema "trata mal" (muchos objetos lo tocan). Tras invertir, ese punto desaparece y todo se simplifica.
El radio es libre. Cualquier $r > 0$ funciona; los problemas de igualdad y concurrencia no dependen de $r$ .
No invertir el centro. $O$ no tiene imagen en el plano euclídeo. Si conviene, trabajar en el plano proyectivo (esfera de Riemann), donde $O$ va al punto del infinito.

Problemas relacionados

(IMO 1996, P2) Sean $P$ interior a un triángulo $ABC$ , y sean $A_1, B_1, C_1$ los pies de las perpendiculares desde $P$ a $BC, CA, AB$ . Probar cierta propiedad de concurrencia (la circunferencia pedal). La inversión centrada en $P$ simplifica drásticamente.
(Iberoamericana 2003) Tres circunferencias mutuamente tangentes externas. Hallar la circunferencia tangente a las tres.