Descenso infinito de Fermat

Irracionalidades elementales

Ejemplo 1. Demostrar que $\sqrt{2}$ es irracional.

Equivalentemente: no existen enteros positivos $a, b$ con $a^2 = 2b^2$.

Descenso. Supongamos que existe tal par. Sea $(a, b)$ con $a$ mínimo. De $a^2 = 2b^2$: $2 \mid a^2$, luego $2 \mid a$ (Lema de Euclides). Sea $a = 2a'$.

$4a'^2 = 2b^2 \implies b^2 = 2a'^2.$

Entonces $(b, a')$ también satisface la ecuación. Y $b < a$ (pues $b^2 = a^2/2 < a^2$). Contradicción con la minimalidad de $a$. $\blacksquare$

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Ejemplo 2. Demostrar que $\sqrt{p}$ es irracional para todo primo $p$.

Si $a^2 = pb^2$ con $(a, b)$ el par mínimo, entonces $p \mid a^2$, así $p \mid a$ (primo), $a = pa'$. Entonces $p^2 a'^2 = pb^2$, $b^2 = pa'^2$. Y $b < a$ (pues $b = a/\sqrt p < a$). Contradicción. $\blacksquare$

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Ejemplo 3. (Generalización) Si $n$ no es un cuadrado perfecto, $\sqrt n$ es irracional.

Existe un primo $p$ tal que $v_p(n)$ es impar. Si $a^2 = nb^2$, tomando valuaciones $p$-ádicas: $2v_p(a) = v_p(n) + 2v_p(b)$. El lado izquierdo es par, el derecho es impar. Contradicción. $\blacksquare$

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La ecuación $x^4 + y^4 = z^2$

Ejemplo 4. (Fermat) La ecuación $x^4 + y^4 = z^2$ no tiene solución en enteros positivos.

Preliminar: ternas pitagóricas. Si $(a, b, c)$ con $a^2 + b^2 = c^2$, $\gcd(a, b) = 1$ y $b$ par, entonces existen $m > n > 0$ con $\gcd(m, n) = 1$, $m, n$ de paridad opuesta, y: $a = m^2 - n^2, \quad b = 2mn, \quad c = m^2 + n^2.$

Descenso. Supongamos $(x, y, z)$ solución con $\gcd(x, y) = 1$ (dividiendo por $\gcd$ si fuera necesario) y $z$ mínimo.

Paso 1. $(x^2)^2 + (y^2)^2 = z^2$ es una terna pitagórica. Podemos suponer $y^2$ par (si no, intercambiamos $x$ e $y$). Así: $x^2 = m^2 - n^2, \quad y^2 = 2mn, \quad z = m^2 + n^2,$ con $m > n$, $\gcd(m,n) = 1$, $m \not\equiv n \pmod 2$.

Paso 2. $y^2 = 2mn$ y $\gcd(m, n) = 1$. Como uno de $m, n$ es par y el otro impar, $2 \mid m$ o $2 \mid n$ pero no ambos. WLOG $n$ impar y $m$ par. Entonces $\gcd(2n, m/2) = 1$ (verificar) y $y^2 = 2mn = 4 \cdot (m/2) \cdot n$. Como son coprimos dos a dos: $m/2 = s^2$, $n = t^2$, $y/2 = st$ para enteros $s, t$.

Paso 3. $x^2 = m^2 - n^2 = (m-n)(m+n)$. Como $\gcd(m-n, m+n) = 2$ (ambos impares), $m - n = 2a'^2$, $m + n = 2b'^2$ o similar. Un análisis más cuidadoso (usando que $x$ es impar y el gcd de $m-n$ y $m+n$ divide a $2$) da: los factores son cuadrados salvo un factor $2$.

Paso 4. De $x^2 + n^2 = m^2$ (con $n = t^2$ y $m = 2s^2$): $(x, t^2, 2s^2)$ es terna pitagórica con paridad correcta. Así $x = u^2 - v^2$, $t^2 = 2uv$, $2s^2 = u^2 + v^2$ para ciertos $u, v$.

De $t^2 = 2uv$ con $\gcd(u, v) = 1$: uno de ellos es $2r^2$ y el otro $s'^2$, o ambos cuadrados con un $2$ extra. Llegamos a una ecuación del tipo $u^4 + v^4 = w^2$ con $w \leq s \leq m^{1/2} \leq z^{1/2} < z$.

Conclusión: Hemos encontrado otra solución $(u, v, w)$ con $w < z$. Contradicción con la minimalidad de $z$. $\blacksquare$

Corolario. La ecuación $x^4 + y^4 = z^4$ no tiene solución en enteros positivos. (El último Teorema de Fermat para $n = 4$, el primer caso demostrado.)

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Ejemplo 5. No existen enteros positivos $a, b, c$ con $a^2 + b^2 = c^2$ y $c - b = 1$ y $c - a = 1$.

Si $a^2 + b^2 = c^2$ y $a = b$: $2a^2 = c^2$, $\sqrt{2} = c/a$, irracional. Si $a \neq b$: la ecuación con $c - a = c - b = 1$ implica $a = b$. No existe. $\square$

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Descenso en divisibilidad

Ejemplo 6. No existen enteros positivos $a, b$ con $a^2 = 3b^2$ y $\gcd(a, b) = 1$.

Sea $(a, b)$ mínimo. $3 \mid a^2$ implica $3 \mid a$ (primo). $a = 3a'$: $9a'^2 = 3b^2$, $b^2 = 3a'^2$. Y $b < a$. Contradicción. $\blacksquare$

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Ejemplo 7. Demostrar que $n^2 + n + 1$ nunca es un cuadrado perfecto para $n \geq 1$.

Supongamos $n^2 + n + 1 = k^2$. Entonces $k^2 - n^2 = n + 1$, $(k-n)(k+n) = n+1$.

Como $k^2 = n^2 + n + 1 > n^2$, $k > n$. Sea $k = n + d$ con $d \geq 1$:

$d(2n + d) = n + 1 \implies 2dn + d^2 = n + 1.$

Si $d \geq 1$: $2dn \geq 2n > n$ (para $n \geq 1$), así $2dn + d^2 > n$, lo cual es compatible, pero: $n(2d - 1) = 1 - d^2$. Para $d \geq 2$: $1 - d^2 < 0$ pero $(2d-1)n > 0$, imposible. Para $d = 1$: $n(2 - 1) = 1 - 1 = 0$, $n = 0$, no en el rango. $\blacksquare$

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Descenso en ecuaciones diofánticas

Ejemplo 8. La ecuación $x^3 + y^3 = z^3$ no tiene solución en enteros positivos.

(Este es el caso $n = 3$ del Último Teorema de Fermat, demostrado elementalmente por Euler en 1770 via descenso en $\mathbb Z[\omega]$ donde $\omega = e^{2\pi i/3}$.)

Esquema: si $(x, y, z)$ es una solución mínima (con $\gcd(x,y,z) = 1$), factorizando $z^3 - y^3 = x^3$ en $\mathbb Z[\omega]$ y usando las propiedades de ese anillo (que es un DFU) se construye una solución más pequeña. Contradicción.