Ecuaciones diofánticas: técnicas estándar

Ejemplo 1. Hallar todas las soluciones enteras de $xy + x + y = 35$.

Añadimos $1$ a ambos lados: $(x+1)(y+1) = 36$. El entero $36$ tiene los divisores positivos $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$. Como $(x+1)$ y $(y+1)$ son enteros (positivos, negativos o cero) con producto $36$:

$x+1$	$y+1$	$x$	$y$
$1$	$36$	$0$	$35$
$2$	$18$	$1$	$17$
$3$	$12$	$2$	$11$
$4$	$9$	$3$	$8$
$6$	$6$	$5$	$5$
$-1$	$-36$	$-2$	$-37$
$-2$	$-18$	$-3$	$-19$
$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$

Y los casos con factores negativos. Si pedimos $x, y \geq 1$: las soluciones son $(1, 17), (2, 11), (3, 8), (5, 5)$ y sus simétricas.

---

Ejemplo 2. Hallar todos los $(m, n) \in \mathbb Z_{>0}^2$ con $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{1}{2026}$.

Multiplicando por $2026mn$: $2026n + 2026m = mn$, luego $mn - 2026m - 2026n = 0$.

Completando el producto: $(m - 2026)(n - 2026) = 2026^2$.

Las soluciones son los divisores $d$ de $2026^2 = (2 \cdot 1013)^2 = 4 \cdot 1013^2$ (con $1013$ primo): $m - 2026 = d$, $n - 2026 = 2026^2/d$, con $d \mid 2026^2$ y $m, n > 0$, es decir $d > -2026$.

$2026^2$ tiene $(1+1)(2+1)(2+1) = \ldots$ espera: $2026 = 2 \cdot 1013$, así $2026^2 = 2^2 \cdot 1013^2$, con $\tau(2026^2) = 3 \cdot 3 = 9$ divisores positivos, más $9$ negativos. Las soluciones positivas requieren $d > 0$: hay $9$ pares $(m, n)$ (incluyendo los simétricos, hay $9$ si contamos con orden o $5$ si no).

---

Ejemplo 3. Hallar todas las soluciones enteras de $x^2 - y^2 = 100$.

$(x-y)(x+y) = 100$. Sea $a = x - y$, $b = x+y$ con $ab = 100$ y $a + b = 2x$ par, así $a$ y $b$ tienen la misma paridad. Los pares $(a, b)$ con $ab = 100$ y misma paridad son: $(2, 50), (10, 10), (-2, -50), (-10, -10)$ y los con $a < 0 < b$ que den paridad impar... Pares con la misma paridad: ambos pares o ambos impares. $100$ no tiene divisores de la misma paridad impar (pues $100 = 4 \cdot 25$, necesitaría $a, b$ ambos impares, pero $ab = 100$ es par). Así solo pares ambos pares.

Pares $(a, b)$ con $ab = 100$, $a \leq b$, ambos pares: $(2, 50), (10, 10), (-50, -2), (-10, -10)$.

Las soluciones $(x, y) = ((a+b)/2, (b-a)/2)$:

• $(2, 50)$: $x = 26, y = 24$.
• $(10, 10)$: $x = 10, y = 0$.
• $(-50, -2)$: $x = -26, y = 24$.
• $(-10, -10)$: $x = -10, y = 0$.

Y los simétricos con $b < a$.

Ejemplo 4. Probar que $x^2 + y^2 = 4k + 3$ no tiene solución entera.

Los cuadrados módulo $4$ son $0$ o $1$. Así $x^2 + y^2 \equiv 0 + 0, 0 + 1,$ o $1 + 1 = 0, 1, 2 \pmod 4$.

El valor $3 \pmod 4$ es imposible. $\blacksquare$

---

Ejemplo 5. Demostrar que $x^2 - 7y^2 = 3$ no tiene solución entera.

Módulo $7$: $x^2 \equiv 3 \pmod 7$. Los cuadrados módulo $7$ son $0^2 = 0, 1^2 = 1, 2^2 = 4, 3^2 = 2, 4^2 = 2, 5^2 = 4, 6^2 = 1$, es decir $\{0, 1, 2, 4\}$. El valor $3$ no aparece. Imposible. $\blacksquare$

---

Ejemplo 6. ¿Tiene soluciones enteras $x^4 + y^4 + z^4 = 2026$?

Módulo $16$: todo cuadrado es $\equiv 0, 1, 4, 9 \pmod{16}$. Todo cuarto poder es $\equiv 0$ o $1 \pmod{16}$ (ya que $0^2 = 0, 1^2 = 1, 4^2 = 0, 9^2 = 1$, $9 \equiv 9$, $9^2 = 81 \equiv 1$). Así $x^4 + y^4 + z^4 \equiv 0, 1, 2, 3 \pmod{16}$.

$2026 = 126 \cdot 16 + 10 \equiv 10 \pmod{16}$.

Como $10 \notin \{0,1,2,3\}$: no tiene soluciones.

---

Ejemplo 7. La ecuación $x^2 + y^2 \equiv 0 \pmod p$ con $p \equiv 3 \pmod 4$ primo implica $p \mid x$ y $p \mid y$.

Módulo $p$: $x^2 \equiv -y^2 \pmod p$. Si $p \nmid y$: $(x/y)^2 \equiv -1 \pmod p$, es decir $-1$ es RC módulo $p$. Pero $\left(\frac{-1}{p}\right) = (-1)^{(p-1)/2} = -1$ para $p \equiv 3 \pmod 4$. Contradicción. Luego $p \mid y$, y entonces $p \mid x$. $\blacksquare$

Aplicación: Si $n = x^2 + y^2$ y $p \mid n$ con $p \equiv 3 \pmod 4$ primo, entonces $p^2 \mid n$.

Ejemplo 8. Hallar todos los $(x, y) \in \mathbb Z_{>0}^2$ con $x^y = y^x$.

Caso $x = y$: siempre funciona. Caso $x \neq y$: WLOG $x < y$. Sea $y = tx$ con $t > 1$ racional.

$x^{tx} = (tx)^x$ implica $x^t = tx$, luego $x^{t-1} = t$, $x = t^{1/(t-1)}$.

Para $t = 2$: $x = 2^1 = 2$, $y = 4$. Verificar: $2^4 = 16 = 4^2$ ✓.

Para $t = 3$: $x = 3^{1/2} = \sqrt 3$, no entero.

Para $t = 4$: $x = 4^{1/3}$, no entero.

Para grandes $t$: $t^{1/(t-1)} \to 1^+ < 2$, luego $x < 2$, imposible para enteros $x \geq 2$.

Única solución no trivial (con $x < y$): $(2, 4)$.

---

Ejemplo 9. Hallar todos los enteros positivos $n$ con $\tau(n) = 6$.

$\tau(n) = 6$ puede ocurrir de las siguientes formas (factorizando $6 = 6 = 3 \cdot 2 = 2 \cdot 3$):

• $n = p^5$: $\tau = 6$. Mínimo: $n = 2^5 = 32$.
• $n = p^2 q$ con $p \neq q$ primos: $\tau = 3 \cdot 2 = 6$. Ejemplos: $12 = 2^2 \cdot 3$, $18 = 2 \cdot 3^2$, $20 = 2^2 \cdot 5$, $28 = 2^2 \cdot 7$, ...

Todos los $n$ de estas dos formas tienen $\tau(n) = 6$.

Ejemplo 10. Hallar todas las soluciones enteras positivas de $x^2 - 2y^2 = 1$.

La solución fundamental es $(x_1, y_1) = (3, 2)$: $9 - 8 = 1$ ✓.

Las demás soluciones se obtienen por $(x_n + y_n\sqrt{2}) = (3 + 2\sqrt{2})^n$:

$n = 1$: $(3, 2)$. $n = 2$: $(3+2\sqrt 2)^2 = 17 + 12\sqrt 2$, así $(17, 12)$. $n = 3$: $(3+2\sqrt 2)^3 = 99 + 70\sqrt 2$, así $(99, 70)$.

La recurrencia: $x_{n+1} = 3x_n + 4y_n$, $y_{n+1} = 2x_n + 3y_n$.

---

Ejemplo 11. Probar que hay infinitos triángulos rectangulares con catetos consecutivos.

Necesitamos $a^2 + (a+1)^2 = c^2$, es decir $2a^2 + 2a + 1 = c^2$, o $c^2 - 2(a + 1/2)^2 = 1/2$. Reescribiendo con $b = 2a + 1$: $c^2 - 2 \cdot ((b-1)/2 + 1/2)^2 = 1/2$... mejor: $c^2 = 2a^2 + 2a + 1$, así $2c^2 - (2a+1)^2 = 1$. Poniendo $d = 2a+1$: la ecuación de Pell $2c^2 - d^2 = 1$ (o equivalentemente $d^2 - 2c^2 = -1$).

Las soluciones de $d^2 - 2c^2 = -1$ son $(d, c) = (1, 1), (7, 5), (41, 29), \ldots$ dadas por $(d_n + c_n\sqrt 2) = (1 + \sqrt 2)^{2n-1}$.

Cada solución da $a = (d - 1)/2$, que es entero cuando $d$ es impar (siempre lo es en nuestra secuencia). Infinitas soluciones. $\square$

---

Ejemplo 12. (IMO 1988/6) Sean $a, b$ enteros positivos con $ab + 1 \mid a^2 + b^2$. Probar que $\frac{a^2 + b^2}{ab + 1}$ es cuadrado perfecto.

(Ver el capítulo de Vieta Jumping para la solución completa. Aquí mencionamos que el descenso produce cadenas de soluciones de la ecuación de Pell.)

Ejemplo 13. ¿Qué enteros entre $1$ y $30$ son suma de dos cuadrados?

Un entero $n$ NO es suma de dos cuadrados si tiene algún factor primo $\equiv 3 \pmod 4$ con exponente impar. Los primos $\equiv 3 \pmod 4$ hasta $30$: $3, 7, 11, 19, 23$.

No son sumas de dos cuadrados: $3, 6 = 2 \cdot 3, 7, 12 = 4 \cdot 3, 14 = 2 \cdot 7, 21 = 3 \cdot 7, 22 = 2 \cdot 11, 24 = 8 \cdot 3, 27 = 3^3$ (exp impar de $3$), $28 = 4 \cdot 7$.

---

Ejemplo 14. Hallar todos los enteros positivos $n$ con $n \mid x^2 + 1$ para algún entero $x$.

Por el teorema anterior, $n \mid x^2 + 1$ equivale a que todos los factores primos de $n$ que son $\equiv 3 \pmod 4$ aparezcan con exponente par (pues $x^2 + 1 = x^2 + 1^2$ es suma de dos cuadrados, y sus divisores también lo son... aunque esto es más sutil).

Directamente: $n \mid x^2 + 1$ implica $x^2 \equiv -1 \pmod n$. Esto es posible iff $-1$ es residuo cuadrático módulo $n$, lo que ocurre iff ningún primo $p \equiv 3 \pmod 4$ divide a $n$ (con potencia impar). La condición exacta: para todo primo $p \equiv 3 \pmod 4$, $v_p(n)$ es par; y $v_2(n) \leq 1$.