Vieta Jumping (saltos de Vieta)

Considera una ecuación diofántica de la forma

donde $F$ es cuadrática en al menos una variable. La técnica de Vieta jumping funciona así:

Paso 1. Supongamos $(x, y) = (a, b)$ es una solución entera. Fijamos $y = b$ y vemos $F$ como polinomio cuadrático en $x$:

Como $a$ es una raíz, hay otra raíz $a'$ dada por las fórmulas de Vieta:

Paso 2. Si los coeficientes son enteros y $\alpha$ es razonable, $a'$ es entero (o racional con denominador controlado). Así obtenemos una nueva solución $(a', b)$.

Paso 3. Comparamos $(a, b)$ y $(a', b)$. Si el "tamaño" de $(a', b)$ es estrictamente menor que el de $(a, b)$, podemos iterar. Por descenso infinito (los enteros positivos no descienden indefinidamente), eventualmente alcanzamos una solución mínima o base con propiedades especiales.

Paso 4. Analizamos las soluciones mínimas directamente.

Enunciado. Sean $a, b$ enteros positivos tales que $ab + 1$ divide a $a^2 + b^2$. Demostrar que $\frac{a^2 + b^2}{ab + 1}$ es un cuadrado perfecto.

Paso 0. Sea $k = \frac{a^2 + b^2}{ab + 1}$. Es un entero positivo. Queremos probar que es cuadrado.

Paso 1: el descenso. Supongamos que existe alguna pareja $(a, b)$ con $k$ no cuadrado. Tomamos $(a, b)$ con $a \geq b \geq 1$ minimizando $a + b$.

Paso 2: aplicar Vieta. Fijamos $b$. La ecuación $\frac{x^2 + b^2}{xb + 1} = k$ se reescribe:

Es cuadrática en $x$. Las dos raíces son $a$ y otra que llamamos $a'$. Por Vieta:

De la primera: $a' = kb - a$, así $a'$ es entero.

Paso 3: signo de $a'$. De la segunda fórmula: $a a' = b^2 - k$.

• Si $b^2 = k$: $a a' = 0$, así $a' = 0$. Pero entonces $(0, b)$ es solución y $k = b^2/1 = b^2$, cuadrado. ¡Contradicción con la suposición!
• Si $b^2 > k$: $a' > 0$ (porque $a > 0$).
• Si $b^2 < k$: $a' < 0$.

Subcaso $a' < 0$: entonces $a' \leq -1$. Pero $a'$ satisface también la ecuación, así que $a'^2 - kba' + b^2 - k = 0$, es decir $a'^2 + |kba'| + b^2 - k = 0$ con $|kba'|$ positivo. La suma $a'^2 + |kba'| + b^2 \geq 0 + |kb| + b^2 > k$ (para $a' \neq 0$ y $k, b \geq 1$). Así $a'^2 - kba' + b^2 - k > 0$, contradicción.

Por tanto $a' \geq 0$. Combinado con $a' = 0$ ya cubierto, $a' \geq 1$.

Paso 4: el salto. Tenemos una nueva solución $(a', b)$ con $a' \geq 1$.

¿Es $(a', b)$ "más pequeña"? $a' = kb - a$. Como $a \geq b$ y $a \geq 1$:

Si $b^2 - k < 0$ ya descartamos. Si $b^2 - k = 0$ ya descartamos. Así $b^2 > k$, lo cual da $a' \leq b^2/a \leq b$ (porque $a \geq b$, así $b^2/a \leq b$).

Más precisamente: $a' < a$ porque $a' \cdot a = b^2 - k < b^2 \leq a^2$, así $a' < a$.

Entonces $(a', b)$ tiene $a' < a$, y al menos $a' + b < a + b$. Contradicción con la minimidad elegida.

Paso 5: conclusión. La hipótesis "existe pareja con $k$ no cuadrado" fue falsa. Por tanto $k$ es siempre cuadrado. $\blacksquare$

El esquema Vieta jumping se reconoce por:

1. Ecuación cuadrática en al menos una variable (o reducible a tal).
2. Coeficientes simétricos o controlados que hagan que la "otra raíz" sea entera.
3. Una función de tamaño (típicamente suma o producto) que decrezca al saltar.
4. Soluciones base identificables (típicamente con una variable nula o pequeña).

Ejemplo 2: $a^2 + b^2 + 1 = 3ab$ tiene infinitas soluciones

Probamos $(1, 1)$: $1 + 1 + 1 = 3 \cdot 1 \cdot 1$. ✓.

Saltamos: fijamos $b = 1$, ecuación en $a$: $a^2 - 3a + 2 = 0$, raíces $a = 1, 2$. Nueva solución $(2, 1)$.

Saltamos desde $(2, 1)$: fijamos $a = 2$, ecuación en $b$: $b^2 - 6b + 5 = 0$, raíces $b = 1, 5$. Nueva solución $(2, 5)$.

Iteramos: $(2, 5) \to (13, 5) \to (13, 34) \to \cdots$. Las soluciones son los Fibonacci impares: $1, 2, 5, 13, 34, 89, \ldots$

Ejemplo 3: ecuación de Markov

Vieta jumping en cualquier variable produce una nueva solución. Genera el árbol de Markov, con infinitas soluciones.

Ejemplo 4: ecuación de Pell generalizada

Si tiene una solución, Vieta jumping (combinado con multiplicación por la solución fundamental de Pell) genera infinitas.