Colección IMO y shortlist — selección clásica

1. IMO 1988/6. Si $a, b$ son enteros positivos tales que $ab + 1 \mid a^2 + b^2$, demostrar que $\frac{a^2 + b^2}{ab + 1}$ es un cuadrado perfecto. (Salto del descenso de Vieta — el problema más famoso de la historia.)

2. IMO 2003/6. Sea $p$ un primo. Demostrar que existen infinitos $n$ tales que $p \mid 2^n - n$. (Construcción y LTE.)

3. ISL 2014/N3. Para cada entero $n \geq 2$, sea $A_n$ el número de enteros positivos $m$ tales que la distancia de $n$ al múltiplo de $m$ más cercano es menor que la distancia de $n$ al cuadrado más cercano de $m$. Para qué $n$ es $A_n$ impar. (Análisis combinatorio fino.)

4. USA TST 2010/3. Demostrar que existe un conjunto infinito $S$ de enteros positivos tal que para todo subconjunto finito $T \subset S$, el número $\sum_{t \in T} t$ es libre de cuadrados. (Construcción tipo greedy.)

5. IMO 2019/4. Hallar todos los pares $(k, n)$ de enteros positivos tales que $k! = (2^n - 1)(2^n - 2)(2^n - 4) \cdots (2^n - 2^{n-1})$. (Cotas y valuación.)

6. IMO 2007/3. En un torneo matemático hay un cierto número de participantes. Algunos compitieron entre sí... (Grafos extremales.)

7. ISL 2018/C5. Hallar el menor entero $k$ con la propiedad de que existen $k$ enteros positivos $a_1 < a_2 < \cdots < a_k$ con $\sum 1/a_i^2 = 51/2020$. (Construcción y cota greedy.)

8. IMO 2015/6. La sucesión $a_1, a_2, \ldots$ está definida por $a_1 = a$ y $a_{n+1} = a_n - 1/a_n$ si $a_n \neq 0$. Hallar todos los $a$ reales tales que la sucesión es periódica. (Sistemas dinámicos discretos.)

9. ISL 2017/C4. Una secuencia de enteros positivos $a_1, a_2, \ldots, a_n$ se llama balanceada si... (Argumento extremal con dependencia mutua.)

10. IMO 2020/4. Hay un país con $2^n$ aeropuertos. (Combinatoria con paridad sutil.)

11. IMO 2009/2. Sea $ABC$ un triángulo con circuncentro $O$. Los puntos $P, Q$ están en $CA, AB$ respectivamente. (Lema del incentro, puntos especiales.)

12. IMO 2014/3. En un cuadrilátero convexo $ABCD$, $\angle ABC = \angle CDA = 90°$. Sea $H$ el pie de la perpendicular desde $A$ a $BD$. (Inversión y reflexiones.)

13. ISL 2011/G5. Sea $ABC$ un triángulo no equilátero, con circuncírculo $\Omega$. Sean $\omega_a, \omega_b, \omega_c$ las circunferencias tangentes internamente a... (Inversión y configuraciones de tangencia.)

14. IMO 2018/1. Sea $\Gamma$ el circuncírculo del triángulo acutángulo $ABC$. Los puntos $D, E$ están en los segmentos $AB, AC$ respectivamente tales que $|AD| = |AE|$. (Reflexiones y simetrías de ángulos.)

15. ISL 2019/G6. Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo cíclico con circuncírculo $\Omega$. Sean $E = AC \cap BD$, $F = AD \cap BC$. (Configuración compleja, requiere análisis multietapa.)

16. IMO 2001/2. Sean $a, b, c$ reales positivos. Demostrar que $\frac{a}{\sqrt{a^2 + 8bc}} + \frac{b}{\sqrt{b^2 + 8ca}} + \frac{c}{\sqrt{c^2 + 8ab}} \geq 1$. (Cauchy-Schwarz / SOS.)

17. IMO 2006/3. Hallar el menor real $M$ tal que la desigualdad $|ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2)| \leq M(a^2 + b^2 + c^2)^2$ se cumple para todos $a, b, c$ reales. (Lagrange y casos de igualdad.)

18. USA TST 2009/4. Sea $P(x)$ un polinomio de grado $\geq 1$ con coeficientes enteros. (Polinomios y aritmética.)

19. ISL 2016/A7. Hallar todos los polinomios $P(x, y) \in \mathbb R[x, y]$ tales que $P(x+y, y-x) = P(x, y)$ para todos $x, y$ reales. (Sustituciones inteligentes.)

20. IMO 2008/3. Demostrar que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $n^2 + 1$ tiene un divisor primo mayor que $2n + \sqrt{2n}$. (Análisis fino sobre la distribución de divisores primos.)

1. Lee y olvida. Lee el enunciado, deja pasar un día, y luego intenta reconstruirlo de memoria. Si no puedes, no lo has entendido todavía.
2. Cinco minutos de trabajo, cinco de descanso. El cerebro resuelve problemas IMO mientras descansa.
3. Por cada problema, lleva una lista de las ideas que probaste y por qué fallaron. Esto se vuelve oro al estudiar más problemas.
4. No leas la solución antes de 90 minutos. Incluso si crees que el problema te supera.

Las soluciones oficiales y comentarios extensos están en:

• AoPS (Art of Problem Solving) para todos los problemas con foros de discusión.
• IMO Compendium (libro) con análisis técnico.
• Evan Chen's lecture notes (web) para una perspectiva moderna y unificada.