Colección nacional — Fase Nacional OME e Iberoamericana juvenil

1. OME 2018, P2. Hallar todas las soluciones enteras de $x^4 + 4 = y^2$.

2. OME 2014, P4. Sea $p$ un primo impar. Demostrar que $\binom{2p}{p} \equiv 2 \pmod p$.

3. Cono Sur 2017, P4. Demostrar que existe $n$ con $\sigma(n) > 100 \cdot n$ (donde $\sigma$ es la suma de divisores).

4. Ibero 2019, P3. Sean $a, b$ enteros positivos tales que $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \in \mathbb Z$. Demostrar que $a = b$.

5. OME 2010, P5. Hallar todos los enteros positivos $n$ tales que $2^n + 12^n + 2014^n$ es un cuadrado perfecto.

6. OME 2020, P3. Hallar todos los polinomios $P(x) \in \mathbb Z[x]$ tales que $P(n) \mid 2^n - 1$ para todo $n \geq 1$.

7. Cono Sur 2018, P5. Se colorean los $n$ enteros $1, 2, \ldots, n$ con tres colores. Demostrar que si $n \geq 6$, existen $a, b, c$ del mismo color con $a + b = c$.

8. Ibero 2015, P5. En un tablero $n \times n$, cada casilla está coloreada de blanco o negro. (Análisis combinatorio fino.)

9. OME 2016, P6. ¿Es posible particionar $\{1, 2, \ldots, 2016\}$ en clases de igual suma? Caracterizar todos los tamaños posibles de las clases.

10. OME 2022, P2. Sea $n$ un entero positivo. Demostrar que existe un entero $k$ con $1 \leq k \leq n$ tal que $k$ y $n - k$ son ambos coprimos con $n$.

11. OME 2011, P5. Sea $ABC$ un triángulo y $P$ un punto en su interior. (Configuración angular profunda.)

12. Ibero 2016, P4. Sea $ABC$ un triángulo escaleno con circuncírculo $\Omega$. Las bisectrices interna y externa del ángulo $A$ cortan a $BC$ en $D$ y $E$. (Lema del incentro y reflexiones.)

13. OME 2017, P3. Demostrar que en un triángulo escaleno, las tres mediatrices de los lados, las tres bisectrices de los ángulos y la recta de Euler concurren en a lo sumo tres puntos.

14. Cono Sur 2014, P3. En un cuadrilátero cíclico $ABCD$, sea $P$ la intersección de las diagonales. Demostrar que $|AP|/|PC| = |AB||AD|/|CB||CD|$.

15. OME 2009, P5. Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo. Las diagonales $AD, BE, CF$ son concurrentes si y solo si $\frac{|AB|}{|BC|} \cdot \frac{|CD|}{|DE|} \cdot \frac{|EF|}{|FA|} = 1$. (Versión hexagonal de Ceva.)

16. Ibero 2018, P6. Sean $\omega_1, \omega_2, \omega_3$ tres circunferencias tangentes entre sí dos a dos. (Configuración con inversión.)

17. OME 2013, P5. Sea $P(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$ con coeficientes reales no negativos. Si $P(1) = 1$, hallar el máximo posible de $P(2)$.

18. Cono Sur 2019, P2. Sean $a, b, c > 0$ con $a + b + c = 3$. Demostrar que

19. OME 2008, P4. Sea $f: \mathbb R \to \mathbb R$ una función continua tal que $f(x + y) = f(x) f(y)$ para todos $x, y \in \mathbb R$. Hallar todas las posibles $f$.

20. Ibero 2017, P3. Sea $\{a_n\}$ una sucesión de reales positivos con $a_{n+1} = a_n + 1/a_n$. (Análisis asintótico fino.)

Estos problemas están diseñados para ser resueltos en una sesión de 3-4 horas con tres problemas similares. Para entrenar:

1. Toma tres problemas distintos (uno de cada área) y ataca por al menos 45 minutos cada uno, sin consultar.
2. No leas la solución sin haber escrito tu intento, aunque parcial. El acto de escribir cristaliza las ideas.
3. Después de resolverlo, intenta dar una segunda demostración por otra técnica. Esto consolida la intuición sobre cuándo cada técnica es relevante.
4. Mantén una libreta de "técnicas reconocibles": cada problema añade una herramienta al repertorio.

Las soluciones oficiales están disponibles en:

• OME: archivo de la Real Sociedad Matemática Española (www.rsme.es/olimpiada).
• Iberoamericanas: archivo del comité organizador (varía cada año).
• AoPS Foro: discusiones detalladas con soluciones alternativas.
• Recopilaciones: los libros Problemas de la Olimpiada Matemática Iberoamericana y Olimpiadas Matemáticas Españolas.