Colección regional — Olimpíada Gallega y autonómicas

1. Demuestra que para todo $n \geq 1$, $11^{n+2} + 12^{2n+1}$ es divisible por $133$.

2. Hallar todos los enteros positivos $n$ tales que $n^2 + 1$ es divisible por $n + 1$.

3. Si $a, b$ son enteros positivos coprimos y $a + b$ divide a $a^2 + b^2$, demostrar que $a + b$ divide a $a - b$ módulo algo específico.

4. Demostrar que existen infinitos primos de la forma $4k + 3$.

5. Si $n$ es un entero positivo, ¿cuántos pares ordenados $(a, b)$ de enteros positivos satisfacen $\operatorname{mcm}(a, b) = n$?

6. Hallar todos los $n$ tales que $\sigma(n) = 2n$ (números perfectos pares conocidos).

7. Demostrar que entre 21 enteros positivos cualesquiera, dos tienen un cociente que es potencia de 2.

8. En un tablero $7 \times 7$ se colocan fichas de $1 \times 3$. ¿Es posible cubrir el tablero menos la casilla central?

9. Una rana salta sobre los enteros: en cada paso avanza $a$ o retrocede $b$, con $a, b \in \mathbb N$, $\gcd(a, b) = 1$. Demostrar que llega a cualquier entero suficientemente grande.

10. ¿Cuántos números de 6 cifras tienen al menos un dígito repetido?

11. En un torneo de fútbol, cada equipo juega contra cada otro una vez. Demostrar que hay un equipo que ganó a todos los demás directa o indirectamente (transitivamente).

12. En una reunión de 6 personas, cualesquiera dos son amigas o desconocidas. Demostrar que hay tres mutuamente amigas o tres mutuamente desconocidas.

13. En un triángulo $ABC$, las bisectrices interna y externa del ángulo $A$ cortan a la mediatriz de $BC$ en $P$ y $Q$. Demostrar que $P, Q, B, C$ son concíclicos.

14. Sea $\Omega$ una circunferencia y $A, B, C, D$ cuatro puntos en ella tales que $AB \parallel CD$. Demostrar que $|AC| = |BD|$.

15. En un cuadrado $ABCD$ de lado 1, sea $P$ un punto interior con $|PA|^2 + |PC|^2 = |PB|^2 + |PD|^2$. Demostrar que $P$ está sobre alguna diagonal.

16. Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico cuyas diagonales se cortan en $E$. Si $|AB| = 6, |CD| = 4, |BE| = 3, |DE| = 2$, hallar $|BD|$.

17. En un triángulo equilátero $ABC$ se inscriben tres círculos congruentes mutuamente tangentes, cada uno tangente a dos lados. Si el lado del triángulo es 1, hallar el radio de los círculos.

18. Si $a, b, c$ son reales positivos con $abc = 1$, demostrar que

19. Sean $x, y, z$ reales positivos con $x + y + z = 1$. Demostrar que

20. Hallar todos los polinomios $P(x)$ de coeficientes reales tales que $P(x^2) = (P(x))^2$ para todo $x$.

• Fáciles (warm-up): 1, 2, 8, 10, 12, 14, 18.
• Intermedios: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19.
• Difíciles (P5/P6 regional): 4, 6, 16, 20.