Selección de problemas — divisibilidad y congruencias

1. Probar que para todo entero $n \geq 1$, el número $5^{2n+1} + 2^{n+4} + 2^{n+1}$ es divisible por $23$.

2. Hallar todos los enteros positivos $n$ tales que $n^2 + 1 \mid n + 1$.

3. Sea $p$ un primo impar. Probar que

4. Hallar el menor entero positivo $n$ tal que $n!$ termina en exactamente $100$ ceros.

5. Probar que $7 \nmid a^2 + b^2$ si $a, b$ son enteros tales que $7 \nmid a$ o $7 \nmid b$. Generalizar a primos $p \equiv 3 \pmod 4$.

6. (Putnam 1972) Demostrar que si $n$ es un entero positivo, entonces $\gcd(n!+1, (n+1)!+1) = 1$.

7. Hallar todos los pares $(p, q)$ de primos tales que $p^q - q^p = p + q$.

8. Probar que existen infinitos primos $p$ con $p \equiv 1 \pmod 4$.

9. (Iberoamericana 2006) Sean $a, b, c, d$ enteros positivos tales que $a + b = c + d$ y $ab + 1 = cd$. Probar que $a = c$ o $a = d$.

10. Sea $a_n = 10^n + 1$. Hallar todos los $n$ tales que $a_n \mid a_{n+1}$.

11. (ISL 2002) Hallar todos los enteros positivos $n$ tales que $n$ divide a $2^n - 1$.

12. Probar que para todo primo $p > 3$, el numerador de

es divisible por $p^2$ (Teorema de Wolstenholme).

• Problemas 1, 5, 8: usar Pequeño Teorema de Fermat y análisis de residuos cuadráticos.
• Problemas 2, 9, 10: factorizar y comparar tamaños.
• Problemas 3, 12: agrupar términos $k$ y $p - k$ usando simetría módulo $p$.
• Problema 4: fórmula de Legendre $v_5(n!) = \sum_{i \geq 1} \lfloor n/5^i \rfloor$.
• Problemas 7, 11: trabajar con el menor divisor primo y comparar órdenes.