Cómo atacar ecuaciones funcionales

Paso 1: Explorar con sustituciones especiales

Las primeras sustituciones siempre son las mismas:

Sustitución	Qué se obtiene típicamente
$x = y = 0$	Información sobre $f(0)$
$y = 0$ (o $x = 0$)	Relación $f(x)$ con $f(0)$
$x = y$	Información sobre $f(2x)$ o $f(x^2)$
$y = -x$ (si el dominio es $\mathbb{R}$)	Paridad de $f$
$x = 1$ o $y = 1$	Relación de $f(n)$ con $f(1)$
$y = f(x)$ (si el codominio ⊆ dominio)	Composiciones de $f$

Objetivo: Determinar $f(0)$, $f(1)$, si $f$ es par/impar/monótona, y cuál es la "forma candidata" de $f$.

Paso 2: Conjeturar la forma de $f$

Con la información del Paso 1, conjetura qué funciones son candidatas. Las más comunes en olimpiada:

• $f(x) = cx$ (lineal)
• $f(x) = cx + d$ (afín)
• $f(x) = x^n$ (potencia)
• $f(x) = 0$ (trivial)
• $f(x) = c$ (constante)
• $f(x) = |x|$, $f(x) = \text{sgn}(x)$

Paso 3: Extender de $\mathbb{N}$ a $\mathbb{Q}$ a $\mathbb{R}$

Si la función actúa sobre $\mathbb{Q}$ o $\mathbb{R}$, la prueba de que $f(x)=cx$ (o la candidata) tiene tres etapas:

Enteros positivos: Por inducción, $f(n) = nf(1)$.

Enteros negativos: De $f(x)+f(-x)=\text{algo}$ (del Paso 1), deducir $f(-n)$.

Racionales: De $nf(p/n) = f(p)$ (usando aditividad o la ecuación), deducir $f(p/q)$.

Reales: Si se pide $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ y no hay condición de regularidad, puede haber soluciones patológicas. Si se da monotonía, continuidad o acotación en un intervalo, la extensión de $\mathbb{Q}$ a $\mathbb{R}$ es por densidad.

Paso 4: Probar que solo existen esas soluciones

Después de encontrar las candidatas, hay que demostrar que no hay otras. Las técnicas son:

• Inducción hacia abajo: Si el problema tiene buena estructura descendente.
• Suponer que $f(x_0)\neq cx_0$ y derivar contradicción.
• Inyectividad/sobreyectividad: Si se puede probar que $f$ es biyectiva, a veces se pueden hacer sustituciones más potentes.

Paso 5: Verificar

Siempre sustituir la candidata en la ecuación original para confirmar que funciona. Este paso es parte obligatoria de la solución.

Inyectividad y sobreyectividad

Cómo probar inyectividad: Si $f(a)=f(b)$, sustituir en la ecuación y deducir $a=b$.

Cómo probar sobreyectividad: Mostrar que para todo $c$ en el codominio existe $x$ con $f(x)=c$. A veces basta fijar un parámetro en la ecuación y variar el otro.

Usar $f(f(x))$

Si la ecuación tiene composiciones, a veces sustituir $x\to f(x)$ da nueva información.

Ejemplo. $f(f(x)+y)=2x+f(f(y)-x)$. Sustituir $y=0$: $f(f(x))=2x+f(f(0)-x)$. Sustituir $x=0$: $f(f(0))=f(f(0))$. ✓ (sin info). Sustituir $y=-f(x)$: $f(0)=2x+f(f(-f(x))-x)$...

Separar pares e impares

Si $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, escribir $f=f_e+f_o$ donde $f_e(x)=(f(x)+f(-x))/2$ (parte par) y $f_o(x)=(f(x)-f(-x))/2$ (parte impar). A veces la ecuación separa en ecuaciones para $f_e$ y $f_o$.

Ecuación: Hallar $f:\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R}_{>0}$ con $f(xf(y))=yf(x)$ para todo $x,y>0$.

Paso 1. Sustituciones iniciales:

• $x=y=1$: $f(f(1))=f(1)$.
• $y=1$: $f(xf(1))=f(x)$. Sea $c=f(1)$: $f(cx)=f(x)$ para todo $x>0$.

Aplicando repetidamente: $f(c^n x)=f(x)$. Si $c\neq1$, esto haría $f$ periódica en escala logarítmica (para $f$ monótona, esto es incompatible con ser positiva). Así $c=f(1)=1$.

• $f(f(y))=y$ para todo $y$ (poner $x=1$): $f(f(y))=y$, o sea $f$ es una involución.

Paso 2. Conjetura: $f(x)=1/x$ satisface $f(x\cdot 1/y)=f(x/y)=y/x=yf(x)$. ✓

¿Hay otras? Si $f$ es continua: $f$ es involución positiva y continua en $\mathbb{R}_{>0}$, así $f(x)=x^{-1}$ (el único homeomorfismo involutivo de $\mathbb{R}_{>0}$ sobre sí mismo que preserva el orden es $x\mapsto x$ o lo invierte es $x\mapsto1/x$; la condición $f(f(y))=y$ y $f>0$ excluye la identidad para la ecuación original).

Paso 3. Deducir directamente: de $f(xf(y))=yf(x)$ e intercambiando $x$ e $y$: $f(yf(x))=xf(y)$. Así $\frac{f(xf(y))}{f(yf(x))}=\frac{yf(x)}{xf(y)}$. Pero también: $f$ de una sola variable, la única solución continua con $f(1)=1$ y $f(f(y))=y$ es $f(y)=y^{-1}$.

Conclusión: $f(x)=1/x$. $\square$

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A veces la ecuación funcional tiene por solución $f\equiv0$ únicamente o no tiene soluciones. Para detectarlo:

1. Contradicción al suponer $f\not\equiv0$: con sustituciones especiales, mostrar que existe $a$ con $f(a)=0$ y luego probar $f\equiv0$.

2. Sin solución: si la ecuación implica $f(a)>f(b)$ y $f(a)<f(b)$ simultáneamente para algún $a,b$, no hay solución.

Una solución completa de una ecuación funcional tiene tres partes:

1. Encontrar todas las candidatas (con sustituciones y deducción).
2. Demostrar que son las únicas (sin dejar cabos sueltos en la extensión $\mathbb{N}\to\mathbb{Q}\to\mathbb{R}$).
3. Verificar que las candidatas satisfacen la ecuación.

En olimpiada, omitir cualquiera de las tres partes es penalizado.