Problemas resueltos de Combinatoria
Soluciones detalladas con teoría aplicada de combinatoria para olimpiada matemática, con dificultad calibrada por competencia — desde la Olimpíada Matemática Galega (OMG) hasta la OME y la IMO. 5 entradas disponibles.
Guiado: el tablero mutilado y el poder de un buen invariante
Un tablero de ajedrez al que se le quitan dos esquinas opuestas — ¿se puede cubrir con fichas de dominó? La respuesta, y sobre todo el porqué, es el ejemplo fundacional de los argumentos de coloración.
Clásico: el teorema de Mantel y el nacimiento de la teoría extremal de grafos
¿Cuántas aristas puede tener un grafo con vértices si no contiene ningún triángulo? La respuesta exacta —y dos demostraciones independientes— inauguran toda un área de las matemáticas.
Guiado: el juego del 15 y la paridad de las permutaciones
El clásico rompecabezas deslizante esconde un invariante algebraico —la paridad de una permutación— que decide, sin ambigüedad, qué configuraciones son alcanzables y cuáles son un sueño imposible.
Guiado: IMO 1987/P1 — puntos fijos de permutaciones y conteo doble
¿Cuántas permutaciones de tienen exactamente puntos fijos? La pregunta parece pedir una fórmula complicada; la respuesta correcta es una identidad sorprendentemente limpia, descubierta contando una misma cosa de dos maneras.
Clásico: IMO 1998/P2 — jueces, concursantes y el conteo doble en acción
En una olimpiada con jueces y concursantes, cada juez evalúa a cada concursante como aprobado o no; si dos cualesquiera coinciden en a lo sumo concursantes, una desigualdad asombrosamente precisa relaciona , y .