Olimpiada Matemática · Álgebra

Problemas resueltos de Álgebra

Soluciones detalladas con teoría aplicada de álgebra para olimpiada matemática, con dificultad calibrada por competencia — desde la Olimpíada Matemática Galega (OMG) hasta la OME y la IMO. 5 entradas disponibles.

Ecuación de Cauchy sobre ℚ (guiado paso a paso)

Si $f : Q \to Q$ satisface $f (x + y) = f (x) + f (y)$ para todos $x, y \in Q$ , entonces $f (x) = c x$ con $c = f (1)$ . El problema-modelo de ecuaciones funcionales: la técnica se repite en cien variantes.

Regionalecuaciones-funcionalescauchyaditividadguiado2026-06-06

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IMO 1995 P2 — Desigualdad cíclica con producto 1

Para $a, b, c > 0$ con $ab c = 1$ : $\frac{1}{a ^{3} ( b + c )} + \frac{1}{b ^{3} ( c + a )} + \frac{1}{c ^{3} ( a + b )} \geq \frac{3}{2}$ . Una sustitución limpia lo reduce a Nesbitt con AM-GM.

NacionalIMO 1995 P2desigualdadescauchy-schwarzam-gmsustitucion2026-06-06

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IMO 2000 P2 — Desigualdad con producto 1 (guiado)

Para $a, b, c > 0$ con $ab c = 1$ : $(a - 1 + \frac{1}{b}) (b - 1 + \frac{1}{c}) (c - 1 + \frac{1}{a}) \leq 1$ . La sustitución que lineariza el producto y la AM-GM que cierra.

NacionalIMO 2000 P2desigualdadesam-gmsustitucionguiado2026-06-06

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IMO 2001 P2 — Desigualdad con raíces cuadradas

Para $a, b, c > 0$ : $\frac{a}{a ^{2} + 8 b c} + \frac{b}{b ^{2} + 8 c a} + \frac{c}{c ^{2} + 8 ab} \geq 1$ . Cauchy-Schwarz + AM-GM en la forma de recta tangente.

InternacionalIMO 2001 P2desigualdadescauchy-schwarzam-gmtlt2026-06-06

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IMO 2010 P1 — Ecuación funcional con parte entera

Hallar todas $f : R \to R$ con $f (⌊ x ⌋ y) = f (x) ⌊ f (y)⌋$ . Las únicas soluciones son $f \equiv 0$ y $f \equiv c$ con $c \in [1, 2)$ . La sustitución $x \in [0, 1)$ revela la estructura completa.

InternacionalIMO 2010 P1ecuaciones-funcionalesparte-enteraconstanteimo-20102026-06-06

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