IMO 2000 P2 — Desigualdad con producto 1 (guiado)

Comprobar el caso de igualdad.

$a=b=c=1$ (que satisface $abc=1$): cada factor es $1-1+1=1$. Producto: $1$. $\checkmark$ (igualdad).

Probar con valores extremos.

$a=2, b=2, c=1/4$ (check: $2\cdot2\cdot1/4=1$ ✓):

• Factor 1: $2-1+1/2=3/2$.
• Factor 2: $2-1+4=5$.
• Factor 3: $1/4-1+1/2=-1/4$.

Producto: $(3/2)\cdot5\cdot(-1/4)=-15/8<0<1$. $\checkmark$

Observación. Si algún factor es negativo, el producto de tres negativos es negativo (o positivo si exactamente dos son negativos). Habrá que analizar los signos.

¿Pueden dos factores ser negativos simultáneamente?

Si $a-1+1/b<0$ y $b-1+1/c<0$: entonces $a+1/b<1$ y $b+1/c<1$. Multiplicando: $(a+1/b)(b+1/c)=ab+a/c+1+1/(bc)<1$. Así $ab+a/c+1/(bc)<0$, imposible pues $a,b,c>0$. No pueden ser dos factores negativos al mismo tiempo.

El hecho de que no puedan ser dos factores negativos simultáneamente nos dice: el producto de los tres factores puede ser:

• Negativo (exactamente un factor negativo), que es $<0<1$ ✓.
• Negativo (exactamente tres factores negativos), también $<0<1$ ✓.
• Positivo (los tres factores positivos): el caso interesante.

También: el caso de exactamente dos factores negativos es imposible (lo demostramos arriba), y si exactamente tres son negativos, el producto es negativo $<1$ ✓.

Conclusión de la Fase 2: Solo hay que demostrar la desigualdad cuando los tres factores son positivos.

Con $abc=1$, sustituir $a=x/y$, $b=y/z$, $c=z/x$ para $x,y,z>0$ (esto satisface $abc=\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{z}\cdot\frac{z}{x}=1$ ✓).

Calculemos cada factor:

$a-1+\frac{1}{b} = \frac{x}{y}-1+\frac{z}{y} = \frac{x+z-y}{y}.$

$b-1+\frac{1}{c} = \frac{y}{z}-1+\frac{x}{z} = \frac{x+y-z}{z}.$

$c-1+\frac{1}{a} = \frac{z}{x}-1+\frac{y}{x} = \frac{y+z-x}{x}.$

El producto de los tres factores es:

$\frac{(x+z-y)(x+y-z)(y+z-x)}{xyz}.$

Hay que probar que $(x+z-y)(x+y-z)(y+z-x)\leq xyz$ cuando los tres factores son positivos.

Los tres factores del numerador siendo positivos equivalen a:

$x+z>y, \quad x+y>z, \quad y+z>x,$

es decir, $x, y, z$ son lados de un triángulo.

Sustitución de Ravi. Sea $u=x+y-z>0$, $v=y+z-x>0$, $w=z+x-y>0$. Entonces:

$x = \frac{u+w}{2}, \quad y = \frac{u+v}{2}, \quad z = \frac{v+w}{2}.$

El numerador es $uvw$. El denominador es:

$xyz = \frac{(u+w)(u+v)(v+w)}{8}.$

El producto de los tres factores se convierte en:

$\frac{uvw}{\frac{(u+w)(u+v)(v+w)}{8}} = \frac{8uvw}{(u+v)(v+w)(w+u)}.$

Necesitamos $\dfrac{8uvw}{(u+v)(v+w)(w+u)}\leq1$, es decir:

$(u+v)(v+w)(w+u)\geq8uvw.$

Por AM-GM aplicada a cada factor:

$u+v\geq2\sqrt{uv}, \quad v+w\geq2\sqrt{vw}, \quad w+u\geq2\sqrt{wu}.$

Multiplicando:

$(u+v)(v+w)(w+u)\geq8\sqrt{uv}\cdot\sqrt{vw}\cdot\sqrt{wu}=8\sqrt{u^2v^2w^2}=8uvw.$

(Igualdad si y solo si $u=v=w$, es decir, $x=y=z$, es decir, $a=b=c=1$.)

Por tanto el producto original es $\leq1$. $\blacksquare$

Demostración. Si algún factor es $\leq0$, el producto de los tres es $\leq0<1$ (verificando que no pueden ser exactamente dos factores negativos: si $a-1+1/b<0$ y $b-1+1/c<0$, multiplicando $(a+1/b)(b+1/c)=ab+a/c+1+1/(bc)\geq1$, contradicción). Así el producto $\leq0<1$.

Si los tres factores son positivos, sustituir $a=x/y$, $b=y/z$, $c=z/x$ con $x,y,z>0$:

$\text{Producto}=\frac{(x+z-y)(x+y-z)(y+z-x)}{xyz}.$

La positividad de los tres factores implica que $x,y,z$ forman un triángulo. Sea $u=x+y-z$, $v=y+z-x$, $w=z+x-y>0$. Entonces $x=(u+w)/2$, $y=(u+v)/2$, $z=(v+w)/2$ y el producto es

$\frac{8uvw}{(u+v)(v+w)(w+u)}\leq\frac{8uvw}{8\sqrt{uv}\cdot\sqrt{vw}\cdot\sqrt{wu}}=1,$

donde la última desigualdad es AM-GM. La igualdad ocurre iff $u=v=w$ iff $x=y=z$ iff $a=b=c=1$. $\blacksquare$