IMO 1995 P2 — Desigualdad cíclica con producto 1

Enunciado

Sean $a, b, c$ números reales positivos con $abc = 1$ . Demostrar que

$\frac{1}{a^3(b+c)} + \frac{1}{b^3(c+a)} + \frac{1}{c^3(a+b)} \;\geq\; \frac{3}{2}.$

Enunciado

Demostración

Paso 1: sustitución. Sea $a=1/x$ , $b=1/y$ , $c=1/z$ con $x,y,z>0$ . La condición $abc=1$ implica $1/(xyz)=1$ , es decir, $xyz=1$ .

Calculemos cada sumando:

$\frac{1}{a^3(b+c)} = \frac{1}{(1/x)^3(1/y+1/z)} = \frac{x^3}{\frac{y+z}{yz}} = \frac{x^3 yz}{y+z} = \frac{x^2\cdot xyz}{y+z} = \frac{x^2}{y+z},$

donde en el último paso usamos $xyz=1$ .

La desigualdad original es equivalente a:

$\frac{x^2}{y+z} + \frac{y^2}{z+x} + \frac{z^2}{x+y} \;\geq\; \frac{3}{2} \quad \text{con } x,y,z>0.$

Paso 2: Cauchy-Schwarz (forma de Engel). Aplicar la forma de Engel al lado izquierdo:

$\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y} \;\geq\; \frac{(x+y+z)^2}{(y+z)+(z+x)+(x+y)} = \frac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)} = \frac{x+y+z}{2}.$

Paso 3: AM-GM. Como $xyz=1$ , por AM-GM:

$x+y+z \;\geq\; 3\sqrt[3]{xyz} = 3.$

Conclusión.

$\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\geq\frac{x+y+z}{2}\geq\frac{3}{2}. \;\blacksquare$

Condición de igualdad. En Cauchy-Engel, igualdad cuando $x/(y+z)=y/(z+x)=z/(x+y)$ , es decir, $x=y=z$ . En AM-GM, igualdad cuando $x=y=z=1$ . Esto corresponde a $a=b=c=1$ (que satisface $abc=1$ ). ✓

Observación

La sustitución $a=1/x$ es el movimiento esencial. Transforma una expresión de aspecto complicado ( $1/a^3(b+c)$ ) en una mucho más manejable ( $x^2/(y+z)$ ). Reconocer que $x^3yz/(y+z)$ con $xyz=1$ se simplifica a $x^2/(y+z)$ es la clave.

Cauchy + AM-GM es la combinación más frecuente en desigualdades simétricas. Cauchy (en forma de Engel) reduce la suma a $(x+y+z)/2$ , y AM-GM da $x+y+z\geq3$ por la restricción del producto.

Nesbitt clásica. La desigualdad intermedia $\sum x^2/(y+z)\geq(x+y+z)/2$ es una forma generalizada de Nesbitt ( $\sum x/(y+z)\geq3/2$ ), que se obtiene de la misma manera pero sin elevar al cuadrado. La versión con cuadrados es más fuerte y también sale de Engel.

Problemas relacionados

(Clásico, Nesbitt) Para $a,b,c>0$ , probar que $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\geq\dfrac{3}{2}$ .
(IMO 2001/P2) Para $a,b,c>0$ , probar que $\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\geq1$ .
(Clásico) Para $a,b,c>0$ con $ab+bc+ca=3$ , probar que $\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\geq\dfrac{3}{2}$ .
(Nacional) Para $a,b,c>0$ con $a+b+c=3$ , probar que $\dfrac{a}{b^2+c^2}+\dfrac{b}{c^2+a^2}+\dfrac{c}{a^2+b^2}\geq\dfrac{3}{2}$ .