Olimpiada Matemática · Álgebra

Contenidos de Álgebra

Teoría, teoremas y definiciones de álgebra para olimpiada matemática, con dificultad calibrada por competencia — desde la Olimpíada Matemática Galega (OMG) hasta la OME y la IMO. 16 entradas disponibles.

Desigualdad AM-GM

Para reales positivos, la media aritmética nunca es menor que la geométrica: $\frac{a _{1} + \dots + a _{n}}{n} \geq n a_{1} \dots a_{n}$ . Una de las herramientas más versátiles de toda la olimpiada.

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Desigualdades básicas: el cuadrado no negativo

La desigualdad más simple y más usada del álgebra es $(a - b)^{2} \geq 0$ . De ella se derivan AM-GM, $a^{2} + b^{2} \geq ab$ , la desigualdad triangular, y la técnica de SOS. Es el punto de partida de toda desigualdad olímpica.

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Identidades algebraicas fundamentales

Las identidades algebraicas son igualdades que se cumplen para todos los valores de las variables. Son el vocabulario básico del álgebra: sin dominarlas, no se puede factorizar, simplificar ni aplicar AM-GM, Vieta o Cauchy-Schwarz.

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Cauchy-Schwarz y forma de Engel (Titu)

$(\sum a_{i}^{2}) (\sum b_{i}^{2}) \geq (\sum a_{i} b_{i})^{2}$ es la segunda desigualdad fundamental. La forma de Engel, $\sum a_{i}^{2} / b_{i} \geq (\sum a_{i})^{2} / \sum b_{i}$ , es la variante más potente en olimpiada.

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Desigualdad de potencias: HM ≤ GM ≤ AM ≤ QM

La media armónica, geométrica, aritmética y cuadrática satisfacen $H \leq G \leq A \leq Q$ para reales positivos. Son los cuatro representantes de la familia de medias de potencias $M_{r} = (\frac{\sum a _{i}^{r}}{n})^{1/ r}$ , que son crecientes en $r$ .

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Polinomios: Vieta, identidades y simétricos elementales

El teorema del factor, las fórmulas de Vieta y las identidades de Newton conectan las raíces de un polinomio con sus coeficientes. Herramientas esenciales para problemas de expresiones simétricas.

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Progresiones y sumas clásicas

Las progresiones aritméticas y geométricas son las sucesiones más básicas de olimpiada. Sus sumas tienen fórmulas cerradas, y las sumas $\sum k$ , $\sum k^{2}$ , $\sum k^{3}$ aparecen constantemente en problemas de conteo y álgebra.

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Propiedades de funciones: inyectividad, sobreyectividad y monotonía

Antes de resolver ecuaciones funcionales, hay que saber leer una función: si es inyectiva (no repite valores), sobreyectiva (alcanza todo el codominio), monótona (creciente o decreciente) o par/impar. Estas propiedades son las herramientas que se extraen de la ecuación antes de adivinar la solución.

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Sucesiones y recurrencias lineales

Una recurrencia lineal de orden $k$ se resuelve mediante su polinomio característico: las raíces dan la forma general de $a_{n}$ . Fibonacci es el ejemplo canónico; las técnicas se aplican directamente en olimpiada.

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Convexidad y desigualdad de Jensen

Una función convexa satisface $f (\frac{\sum w _{i} x _{i}}{\sum w _{i}}) \leq \frac{\sum w _{i} f ( x _{i} )}{\sum w _{i}}$ . Jensen generaliza AM-GM y es el motor de muchas desigualdades de olimpiada.

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Desigualdad de reordenamiento y Chebyshev

La desigualdad de reordenamiento dice que el producto escalar máximo se obtiene cuando dos sucesiones están ordenadas en el mismo sentido. La desigualdad de Chebyshev es su consecuencia más directa. Ambas son alternativas a Cauchy-Schwarz en problemas de sumas simétricas.

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Desigualdad de Schur

Para $a, b, c \geq 0$ y $t > 0$ : $a^{t} (a - b) (a - c) + b^{t} (b - a) (b - c) + c^{t} (c - a) (c - b) \geq 0$ . En términos de simétricos elementales, equivale a $e_{1}^{3} - 4 e_{1} e_{2} + 9 e_{3} \geq 0$ .

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Desigualdades de Newton y Maclaurin para simétricos

Las desigualdades de Newton $e_{k}^{2} \geq e_{k - 1} e_{k + 1}$ y la desigualdad de Maclaurin $d_{1} \geq d_{2}^{1/2} \geq d_{3}^{1/3} \geq \dots$ ordenan jerárquicamente las medias simétricas elementales. Son el eslabón entre Schur y Muirhead, y la herramienta clave para el método uvw.

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Ecuaciones funcionales: tipos principales

Una ecuación funcional es una ecuación en la que la incógnita es una función. Los tipos más comunes en olimpiada son la ecuación de Cauchy $f (x + y) = f (x) + f (y)$ y sus variantes. La estrategia es explorar sustituciones, luego deducir la forma.

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Polinomios avanzados: irreducibilidad, divisibilidad, interpolación

El criterio de Eisenstein, el criterio de la raíz racional y la identidad $a - b ∣ P (a) - P (b)$ son las herramientas con las que se atacan los problemas olímpicos de polinomios de nivel nacional. La interpolación de Lagrange resuelve los problemas de 'hallar el polinomio que pasa por...'.

Nacionalpolinomioseisensteinraiz-racionalirreducibilidad2026-06-06

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Muirhead y mayorización

Si $(α_{1}, \dots, α_{n})$ mayoriza a $(β_{1}, \dots, β_{n})$ , entonces $[α_{1}, \dots, α_{n}] \geq [β_{1}, \dots, β_{n}]$ para reales positivos. Muirhead generaliza AM-GM para medias simétricas.

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