Progresiones y sumas clásicas

Definición. Una sucesión $a_1, a_2, a_3, \ldots$ es una progresión aritmética con razón $d$ si la diferencia entre términos consecutivos es constante:

$a_{n+1} - a_n = d \quad \text{para todo } n \geq 1.$

Término general:

$\boxed{a_n = a_1 + (n-1)d.}$

Suma de los primeros $n$ términos:

$\boxed{S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n(2a_1+(n-1)d)}{2}.}$

Demostración (Gauss). Escribir la suma hacia adelante y hacia atrás:

$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ $S_n = a_n + a_{n-1} + \cdots + a_1$

Sumar: $2S_n = n(a_1+a_n)$. $\square$

Propiedad clave. En una PA, el término del medio es la media aritmética de cualquier par simétrico: si $i+j=k+l$, entonces $a_i+a_j=a_k+a_l$.

Ejemplos

Ejemplo 1. La suma $1+2+3+\cdots+n$.

PA con $a_1=1$, $d=1$, $a_n=n$:

$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}.$

Ejemplo 2. La suma $3+7+11+\cdots+99$.

$a_1=3$, $d=4$. Número de términos: $a_n=3+(n-1)\cdot4=99 \Rightarrow n=25$.

$S_{25}=\frac{25(3+99)}{2}=\frac{25\cdot102}{2}=1275.$

Ejemplo 3. Las raíces de $x^3-9x^2+26x-24=0$ están en PA. Hallarlas.

Si las raíces son $a-d, a, a+d$: por Vieta, $(a-d)+a+(a+d)=9$, así $a=3$. Y $(a-d)\cdot a\cdot(a+d)=24$, es decir, $3(9-d^2)=24$, luego $d^2=1$, $d=\pm1$. Raíces: $2, 3, 4$. $\square$

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Definición. Una sucesión $a_1, a_2, a_3, \ldots$ es una progresión geométrica con razón $r$ si el cociente entre términos consecutivos es constante:

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = r \quad \text{para todo } n \geq 1.$

Término general:

$\boxed{a_n = a_1 \cdot r^{n-1}.}$

Suma de los primeros $n$ términos (para $r\neq1$):

$\boxed{S_n = a_1\cdot\frac{r^n-1}{r-1}.}$

Para $r=1$: $S_n=na_1$.

Demostración. $S_n = a_1+a_1r+\cdots+a_1r^{n-1}$. Multiplicar por $r$: $rS_n=a_1r+\cdots+a_1r^n$. Restar: $(r-1)S_n=a_1(r^n-1)$. $\square$

Serie geométrica infinita (para $|r|<1$):

$\boxed{\sum_{n=0}^\infty a_1 r^n = \frac{a_1}{1-r}.}$

Ejemplos

Ejemplo 1. La suma $1+2+4+\cdots+2^{n-1}=2^n-1$.

PG con $a_1=1$, $r=2$: $S_n=\frac{2^n-1}{2-1}=2^n-1$.

Ejemplo 2. La suma $\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{27}+\cdots$

PG infinita con $a_1=1/3$, $r=1/3$: $S=\dfrac{1/3}{1-1/3}=\dfrac{1}{2}$.

Ejemplo 3. Las raíces de $8x^3-14x^2+7x-1=0$ están en PG. Hallarlas.

Si las raíces son $a/r, a, ar$: por Vieta, $(a/r)\cdot a\cdot(ar)=1/8$, así $a^3=1/8$, $a=1/2$. Y $(a/r)+a+(ar)=14/8=7/4$: $\frac{1}{2r}+\frac{1}{2}+\frac{r}{2}=7/4$, luego $\frac{1}{2r}+\frac{r}{2}=5/4$, multiplicando por $2r$: $r^2-5r/2+1=0$... más limpio: $1+2r+2r^2=7r/2$... Resolver: $r=2$ o $r=1/2$. Raíces: $1/4, 1/2, 1$. $\square$

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Las siguientes fórmulas son fundamentales y deben memorizarse:

$\boxed{\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}}$

$\boxed{\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$

$\boxed{\sum_{k=1}^n k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \left(\sum_{k=1}^n k\right)^2}$

La última identidad dice que la suma de los primeros $n$ cubos es el cuadrado de la suma de los primeros $n$ naturales. Un resultado sorprendente.

Cómo derivar $\sum k^2$ sin memorizar. Usar la identidad $(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1$ y sumar telescópicamente:

$\sum_{k=1}^n[(k+1)^3-k^3] = (n+1)^3-1 = 3\sum k^2+3\sum k+n.$

Sustituir $\sum k=n(n+1)/2$ y despejar $\sum k^2$. $\square$

Ejemplo de olimpiada

Demostrar que $1^3+2^3+\cdots+n^3=(1+2+\cdots+n)^2$.

LHS $=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2=$ RHS. $\square$ (O bien probar por inducción.)

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Si $(a_n)$ está en PA, entonces $(r^{a_n})$ está en PG con razón $r^d$.

Media aritmética vs geométrica de dos términos:

• Si $a, M, b$ están en PA: $M = (a+b)/2$ (media aritmética).
• Si $a, G, b$ están en PG: $G = \sqrt{ab}$ (media geométrica).
• AM-GM: $M\geq G$ siempre.

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Muchas sumas se simplifican identificando una PA o PG.

Suma de los impares. $1+3+5+\cdots+(2n-1)$.

PA con $a_1=1$, $d=2$, $n$ términos: $S_n=n^2$.

(La suma de los primeros $n$ impares es $n^2$. Imagen: escalera de cuadrados.)

Suma $\sum_{k=1}^n k\cdot r^k$ (PG-aritmética). Multiplicar por $r$ y restar (derivar la fórmula de la PG):

$S = r+2r^2+3r^3+\cdots+nr^n.$ $rS = r^2+2r^3+\cdots+(n-1)r^n+nr^{n+1}.$ $S-rS = r+r^2+\cdots+r^n-nr^{n+1} = \frac{r(r^n-1)}{r-1}-nr^{n+1}.$

Despejar $S$.

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¿Cuándo aparece PA en olimpiada?

• Raíces de polinomios en PA (usar Vieta)
• Números que forman PA (estructura divisional)
• Sumas de términos consecutivos

¿Cuándo aparece PG en olimpiada?

• Raíces de polinomios en PG
• Problemas de crecimiento exponencial o interés compuesto
• Series infinitas $\sum ar^n$

Ejemplo de olimpiada

(OMG-nivel) Los términos $a_1, a_2, a_3$ son los tres primeros de una PA con razón entera positiva. Si $a_1+a_2+a_3=21$ y $a_1a_2a_3=315$, hallar $a_1, a_2, a_3$.

Sea $a_2=7$ (de la suma: $3a_2=21$). Luego $(7-d)\cdot7\cdot(7+d)=315$, así $7(49-d^2)=315$, $49-d^2=45$, $d^2=4$, $d=2$. Respuesta: $5,7,9$. $\square$