Polinomios: Vieta, identidades y simétricos elementales

El teorema del factor, las fórmulas de Vieta y las identidades de Newton conectan las raíces de un polinomio con sus coeficientes. Herramientas esenciales para problemas de expresiones simétricas.

DificultadRegional

Etiquetaspolinomiosvietasimetricosnewtonidentidades

AutorAdrián García Bouzas

Actualizado2026-06-06

Los polinomios son el lenguaje en que se formulan muchos problemas de álgebra olímpica. Conocer las relaciones entre raíces y coeficientes (fórmulas de Vieta), cómo factorizar, y qué son los polinomios simétricos elementales es imprescindible para abordar problemas de nivel regional en adelante.

Enunciado

Teorema del Factor. Si $p(x)$ es un polinomio y $p(r) = 0$ , entonces $(x - r)$ divide a $p(x)$ .

Equivalentemente, $p(x) = (x-r) \cdot q(x)$ para cierto polinomio $q(x)$ .

Corolario. Un polinomio de grado $n$ tiene a lo sumo $n$ raíces (en $\mathbb{C}$ , exactamente $n$ contando multiplicidades).

Fórmulas de Vieta. Sea $p(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$ con raíces $r_1, r_2, \ldots, r_n$ (en $\mathbb C$ ):

$p(x) = a_n(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n).$

Expandiendo y comparando coeficientes:

undefined