Polinomios avanzados: irreducibilidad, divisibilidad, interpolación

La identidad clave

Teorema. Para cualquier polinomio $P(x)$ con coeficientes enteros y enteros $a,b$:

$\boxed{(a-b)\;\mid\;P(a)-P(b).}$

Demostración. Basta verlo para $P(x)=x^k$: $a^k-b^k=(a-b)(a^{k-1}+a^{k-2}b+\cdots+b^{k-1})$. Para un polinomio general, sumar los términos. $\square$

Consecuencias:

1. Si $P(n)=0$ para $n\in\mathbb{Z}$ y $P$ tiene coeficientes enteros, entonces $(x-n)\mid P(x)$ en $\mathbb{Z}[x]$.

2. Si $P(a)=P(b)$ para $a\neq b$ enteros, entonces $(a-b)\mid0=P(a)-P(b)$, lo que es trivial pero útil para saber que $P(a)\equiv P(b)\pmod{a-b}$.

3. Si $P(a)=c$ y $P(b)=c$ para enteros $a\neq b$, entonces $(a-b)\mid(P(a)-P(b))=0$: no da información. Pero: si $P(a)=1$ y $P(b)=-1$: $(a-b)\mid2$.

Aplicación clásica: polinomios que dan valores pequeños

Ejemplo. Demostrar que si $P(x)\in\mathbb{Z}[x]$ con $\deg P=n$ y $P(a_0)=P(a_1)=\cdots=P(a_n)=1$ para enteros distintos $a_0,\ldots,a_n$, entonces $P\equiv1$.

$Q(x)=P(x)-1$ tiene $n+1$ raíces enteras y grado $n$, luego $Q\equiv0$, es decir, $P\equiv1$. $\square$

Ejemplo (olimpiada). Sea $P(x)\in\mathbb{Z}[x]$ con $P(0)=0$ y $P(1)=1$. Demostrar que para cualquier entero $n>1$: si $P(n)=n^2$ entonces $n\mid2$.

$P(n)-P(0)=n^2$, así $(n-0)\mid n^2$: $n\mid n^2$. ✓ Siempre. Pero $P(n)-P(1)=n^2-1=(n-1)(n+1)$, así $(n-1)\mid(n-1)(n+1)$. Cierto. No da $n\mid2$. Revisar el enunciado... (Ejemplo ilustrativo, no real.)

Teorema. Sea $P(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0\in\mathbb{Z}[x]$ con $a_n\neq0$, $a_0\neq0$. Si $p/q$ (en mínimos términos, $\gcd(p,q)=1$, $q>0$) es raíz de $P$, entonces:

$\boxed{p\mid a_0 \quad\text{y}\quad q\mid a_n.}$

Demostración. $P(p/q)=0$, luego $a_n p^n+a_{n-1}p^{n-1}q+\cdots+a_0q^n=0$. Reducir módulo $p$: $a_0q^n\equiv0\pmod{p}$. Como $\gcd(p,q)=1$: $p\mid a_0$. Módulo $q$: $a_np^n\equiv0\pmod{q}$, así $q\mid a_n$. $\square$

Uso práctico. Las únicas candidatas a raíces racionales de $P$ son $\pm p/q$ con $p\mid a_0$ y $q\mid a_n$. Para un polinomio mónico ($a_n=1$): solo candidatas enteras $\pm$ divisores de $a_0$.

Ejemplo

Determinar si $x^4-3x^2+x-1$ tiene raíces racionales.

Mónico con $a_0=-1$: candidatas $\pm1$. $P(1)=1-3+1-1=-2\neq0$. $P(-1)=1-3-1-1=-4\neq0$. No hay raíces racionales. $\square$

Determinar si $3x^3-7x^2+4$ tiene raíces racionales.

$a_3=3$, $a_0=4$. Candidatas: $\pm1,\pm2,\pm4,\pm1/3,\pm2/3,\pm4/3$. $P(1)=3-7+4=0$. ✓ Raíz: $x=1$. Dividir: $3x^3-7x^2+4=(x-1)(3x^2-4x-4)=(x-1)(3x+2)(x-2)$. Raíces: $1, -2/3, 2$.

Teorema (Eisenstein, 1850). Sea $P(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0\in\mathbb{Z}[x]$. Si existe un primo $p$ tal que:

• $p\mid a_0, a_1,\ldots, a_{n-1}$ (divide todos los coeficientes excepto el principal),
• $p\nmid a_n$ (no divide el coeficiente principal),
• $p^2\nmid a_0$ (el primo al cuadrado no divide el término independiente),

entonces $P$ es irreducible en $\mathbb{Q}[x]$ (no puede escribirse como producto de dos polinomios de grado menor con coeficientes racionales).

Demostración (esquema). Suponer $P=QR$ en $\mathbb{Z}[x]$ (por Gauss, si factoriza en $\mathbb{Q}$ también en $\mathbb{Z}$). Reducir módulo $p$: $\overline{P}=\overline{a_n}x^n$. Así $\overline{Q}=\overline{b_k}x^k$ y $\overline{R}=\overline{c_l}x^l$, luego $p\mid b_0$ y $p\mid c_0$. Entonces $p^2\mid b_0c_0=a_0$, contradicción. $\square$

Ejemplos

Ejemplo 1. $x^5-3x^2+6x-3$. Tomar $p=3$: $3\mid3,6,3$; $3\nmid1$ (coeficiente de $x^5$); $9\nmid3$. Por Eisenstein con $p=3$: irreducible. $\square$

Ejemplo 2. $x^4+x^3+x^2+x+1=\Phi_5(x)$ (ciclotómico). Eisenstein no aplica directamente. Pero con la sustitución $x\to x+1$: $(x+1)^4+(x+1)^3+(x+1)^2+(x+1)+1=x^4+5x^3+10x^2+10x+5$. Eisenstein con $p=5$: $5\mid5,10,10,5$; $5\nmid1$; $25\nmid5$. Irreducible. $\square$

Ejemplo 3. $p$ primo. El polinomio ciclotómico $\Phi_p(x)=x^{p-1}+\cdots+x+1$ es irreducible por el truco del Ejemplo 2.

Si $P$ es irreducible módulo $p$ (es decir, $\overline{P}\in\mathbb{F}_p[x]$ es irreducible), entonces $P$ es irreducible en $\mathbb{Q}[x]$.

(El recíproco es falso: $x^4+1$ es irreducible en $\mathbb{Q}$ pero reducible módulo todo primo.)

Uso. Para verificar irreducibilidad, reducir módulo $2$ o $3$ y comprobar que no tiene raíces en $\mathbb{F}_p$ (para grado $\leq4$, esto es suficiente si $\overline{P}$ no tiene raíces en $\mathbb{F}_p$).

Ejemplo

$x^3+x+1$ es irreducible en $\mathbb{Q}[x]$.

Módulo $2$: $x^3+x+1$. Candidatas en $\mathbb{F}_2$: $0$ y $1$. $0^3+0+1=1\neq0$, $1^3+1+1=1\neq0$. No tiene raíces en $\mathbb{F}_2$, luego irreducible en $\mathbb{F}_2[x]$, luego irreducible en $\mathbb{Q}[x]$. $\square$

Problema. Dados $n+1$ puntos distintos $(x_0,y_0),(x_1,y_1),\ldots,(x_n,y_n)$, existe un único polinomio $P$ de grado $\leq n$ con $P(x_i)=y_i$ para todo $i$.

Fórmula de Lagrange:

$\boxed{P(x) = \sum_{i=0}^n y_i \prod_{j\neq i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.}$

Cada sumando es el polinomio $L_i(x)=\prod_{j\neq i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$, que vale $1$ en $x_i$ y $0$ en $x_j$ para $j\neq i$.

Uso en olimpiada. Cuando el problema da los valores de $P$ en $n+1$ puntos y pide $P$ en otro, se usa la interpolación. También para demostrar que un polinomio de grado $n$ es único dado su comportamiento en $n+1$ puntos.

Ejemplos

Ejemplo 1. Hallar el polinomio de grado $\leq2$ con $P(0)=1$, $P(1)=2$, $P(2)=5$.

$L_0=\frac{(x-1)(x-2)}{(0-1)(0-2)}=\frac{(x-1)(x-2)}{2}, \quad L_1=\frac{x(x-2)}{(1)(1-2)}=-x(x-2),$ $L_2=\frac{x(x-1)}{(2)(1)}=\frac{x(x-1)}{2}.$ $P=1\cdot L_0+2\cdot L_1+5\cdot L_2=\frac{(x-1)(x-2)}{2}-2x(x-2)+\frac{5x(x-1)}{2}=x^2+1. \;\square$

Ejemplo 2 (olimpiada). Un polinomio $P$ de grado $n$ satisface $P(k)=k/(k+1)$ para $k=0,1,\ldots,n$. Hallar $P(n+1)$.

Considerar $Q(x)=(x+1)P(x)-x$. Entonces $Q(k)=(k+1)P(k)-k=k-k=0$ para $k=0,1,\ldots,n$. Así $Q$ tiene $n+1$ raíces y grado $n+1$: $Q(x)=c\cdot x(x-1)\cdots(x-n)$.

$Q(-1)=0\cdot P(-1)-(-1)=1$, y $Q(-1)=c\cdot(-1)(-2)\cdots(-n-1)=c\cdot(-1)^{n+1}(n+1)!$.

Así $c=(-1)^{n+1}/((n+1)!)$.

$P(n+1)=\frac{Q(n+1)+(n+1)}{n+2}=\frac{c(n+1)!+n+1}{n+2}=\frac{(-1)^{n+1}+(n+1)}{n+2}$.

Para $n$ par: $P(n+1)=\frac{n}{n+2}$. Para $n$ impar: $P(n+1)=\frac{n+2}{n+2}=1$. $\square$